Udowodnij tożsamość trygonometryczną.- Zadanie 8: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) L = sin^{4} α + cos^{4} α = (sin^{2} α + cos^{2} α)^{2} - 2 sin^{2} α cos^{2} α = 1 - \frac{1}{2} \cdot 4 sin^{2} α cos^{2} α = 1 - \frac{1}{2} (2 sin α cos α)^{2} = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 α = P$

$b) L = sin^{6} α + cos^{6} α = (sin^{2} α)^{3} + (cos^{2} α)^{3} = (sin^{2} α + cos^{2} α) (sin^{4} α - sin^{2} α cos^{2} α + cos^{4} α) =$

Wiemy, z a), że:

$sin^{4} α + cos^{4} α = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 α$

$= 1 \cdot (1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 α - sin^{2} α cos^{2} α) = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 α - \frac{1}{4} \cdot 4 sin^{2} α cos^{2} α = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 α - \frac{1}{4} \cdot (2 sin α cos α)^{2} = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 α - \frac{1}{4} sin^{2} 2 α = 1 - \frac{3}{4} sin^{2} 2 α = P$

$c) L = sin (α + β) sin (α - β) = (sin α cos β + cos α sin β) (sin α cos β - cos α sin β) = (sin α cos β)^{2} - (cos α sin β)^{2} = sin^{2} α cos^{2} β - cos^{2} α sin^{2} β =$

Z jedynki trygonometrycznej:

$cos^{2} β = 1 - sin^{2} β$

$= sin^{2} α (1 - sin^{2} β) - cos^{2} α sin^{2} β = sin^{2} α - sin^{2} α sin^{2} β - cos^{2} α sin^{2} β = sin^{2} α - sin^{2} β (sin^{2} α + cos^{2} α) = sin^{2} α - sin^{2} β = P$

$d) L = cos (α + β) cos (α - β) = (cos α cos β - sin α sin β) (cos α cos β + sin α sin β) = (cos α cos β)^{2} - (sin α sin β)^{2} = cos^{2} α cos^{2} β - sin^{2} α sin^{2} β =$

Z jedynki trygonometrycznej:

$cos^{2} β = 1 - sin^{2} β$

$= cos^{2} α (1 - sin^{2} β) - sin^{2} α sin^{2} β = cos^{2} α - cos^{2} α sin^{2} β - sin^{2} α sin^{2} β = cos^{2} α - sin^{2} β (cos^{2} α + sin^{2} β) = cos^{2} α - sin^{2} β = P$

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.