Matematyka

Ustal ostatnią cyfrę podanej liczby. 4.6 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

a)

Zobaczmy, jak zmieniają się cyfry jedności kolejnych potęg liczby 2

`2^1=2`

`2^2=4`

`2^3=8`

`2^4=16`

`2^5=32`

`2^6=64`

`2^7=128`

Cyfry jedności potęg liczby 2 zmieniają się w kolejności 2,4,8,6,2,4,.. Dostrzeżmy pewne analogię:

Pierwsza, piąta, dziewiąta (...)potęga liczby 2 ma ostatnią cyfrę równą 2. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 4 dają reszte 1 (1,5,9,13) to potęgi liczby 2 o ostatniej cyfrze równej 2.

Druga, szósta,dziesiąta,..(itd.) potęga liczby 2 ma ostatnią cyfrę równą 4. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 4 dają reszte 2 (2,6,10) to potęgi liczby 2 o ostatniej cyfrze równej 4.

Trzecia, siódma, jedenasta,..(itd.) potęga liczby 2 ma ostatnią cyfrę równą 8. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 2 dają reszte 1 (3,7,11) to potęgi liczby 2 o ostatniej cyfrze równej 8.

Pozostałe potęgi liczby 2 kończą się cyfrą 6.

Potęga 2015(liczba 2015) przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1, zatem jest to potęga liczby 3, której ostatnią cyfrą jest 8.

b)

Przyjrzyjmy się analogii wg której zmieniają się potęgi liczby 3

 

 

`3^1=3`

 

`3^2=9`

 

`3^3=27`

 

`3^4=81`

 

`3^5=243`

 

`3^6=729`

 

Cyfry jedności potęg liczby 3 zmieniają się w kolejności 1,3,9,7,1,3,9... 

 

Pierwsza, piąta, dziewiąta (...)potęga liczby 3 ma ostatnią cyfrę równą 3. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 4 dają reszte 1 (1,5,9,13) to potęgi liczby 3 o ostatniej cyfrze równej 3.

Druga, szósta,dziesiąta,..(itd.) potęga liczby 3 ma ostatnią cyfrę równą 9. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 4 dają reszte 2 (2,6,10) to potęgi liczby 3 o ostatniej cyfrze równej 9.

Trzecia, siódma, jedenasta,..(itd.) potęga liczby 3 ma ostatnią cyfrę równą 7. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 2 dają reszte 1 (3,7,11) to potęgi liczby 3 o ostatniej cyfrze równej 7.

Pozostałe potęgi liczby 3 kończą się cyfrą 1.

Potęga 123(liczba 123) przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1, zatem jest to potęga liczby 3, której ostatnią cyfrą jest 7.

 

 c)

Przyjrzyjmy się analogii wg której zmieniają się potęgi liczby 4

 

 

`4^1=4`

 

`4^2=16`

 

`4^3=64`

 

`4^4=156`

 

`4^5=1024`

 

`4^6=4096`

 

Cyfry jedności potęg liczby 4 zmieniają się w kolejności 4,6,4,6..,... 

 

Tutaj mamy prostszą zależność. Parzyste potęgi mają ostatnią cyfrę 6, a nieparzyste- 4.

Liczba 1000 jest parzystą dlatego tysięczna potęga liczby 4 ma ostatnią cyfrę równą 6.

d)

 

Przyjrzyjmy się analogii wg której zmieniają się potęgi liczby 7

 

 

`7^1=7`

 

`7^2=49`

 

`7^3=343`

 

`7^4=2401`

 

`7^5=16807`

 

 

Cyfry jedności potęg liczby 3 zmieniają się w kolejności 7,9,3,1

 

Pierwsza, piąta, dziewiąta (...)potęga liczby 7 ma ostatnią cyfrę równą 7. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 4 dają reszte 1 (1,5,9,13) to potęgi liczby 7 o ostatniej cyfrze równej 7.

Druga, szósta,dziesiąta,..(itd.) potęga liczby 7 ma ostatnią cyfrę równą 9. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 4 dają reszte 2 (2,6,10) to potęgi liczby 7 o ostatniej cyfrze równej 9.

Trzecia, siódma, jedenasta,..(itd.) potęga liczby 7 ma ostatnią cyfrę równą 3. Zatem liczby które przy dzieleniu przez 2 dają reszte 1 (3,7,11) to potęgi liczby 7 o ostatniej cyfrze równej 3.

Pozostałe potęgi liczby 3 kończą się cyfrą 1.

Potęga 256 (liczba 256) przy dzieleniu przez 2 lub 4 nie daje reszty, czyli zaliczamy ją do grupy ,,pozostałe potęgi" , zatem jest to potęga liczby 7, której ostatnią cyfrą jest 1.

 

 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka na czasie! 1
Autorzy: Karolina Wej, Wojciech Babiański, Ewa Szmytkiewicz, Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Monika

1710

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Koło i okrąg

Okrąg o środku S i promieniu długości r (r – to długość, więc jest liczbą dodatnią, co zapisujemy r>0) jest to krzywa, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości od danego punktu S zwanego środkiem okręgu.

Inaczej mówiąc: okręgiem o środku S i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punków płaszczyzny, których odległość od środka S jest równa długości promienia r.

okreg1
 

Koło o środku S i promieniu długości r to część płaszczyzny ograniczona okręgiem wraz z tym okręgiem.

Innymi słowy koło o środku S i promieniu długości r to figura złożona z tych punktów płaszczyzny, których odległość od środka S jest mniejsza lub równa od długości promienia r.

okreg2
 

Różnica między okręgiem a kołem – przykład praktyczny

Gdy obrysujemy np. monetę powstanie nam okrąg. Po zakolorowaniu tego okręgu powstanie nam koło, czyli zbiór punktów leżących zarówno na okręgu, jak i w środku.

okrag_kolo

Środek okręgu (lub koła) to punkt znajdujący się w takiej samej odległości od każdego punktu okręgu.
Promień okręgu (lub koła) to każdy odcinek, który łączy środek okręgu z punktem należącym do okręgu.

Cięciwa okręgu (lub koła) - odcinek łączący dwa punkty okręgu
Średnica okręgu (lub koła) - cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Jest ona najdłuższą cięciwą okręgu (lub koła).

Cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki.
Średnica dzieli okrąg na dwa półokręgi, a koło na dwa półkola.

kolo_opis
Odejmowanie ułamków zwykłych
  1. Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    • $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
       
  3. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
       
  4. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie