$Z:\angle APB=\angle AOB$

$T:$   $APBO$  

$D:$ $A$   i $B$   to punkty styczności prostych $AP$   i $BP$  do okręgu, więc:

$\angle PAO=\angle OBP={90}^o$  

Suma kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa  ${360}^{\circ },$ stąd: 

$\angle APB+\angle AOB={360}^{\circ }-2\cdot {90}^{\circ }={360}^{\circ }-{180}^{\circ }={180}^{\circ }$  

Założyliśmy, że  $\angle APB=\angle AOB,$  więc możemy zapisać:

$2\angle APB={180}^o$

Czyli:

$\angle APB={90}^o=\angle AOB$

Dodatkowo zauważmy, że  $\left|AO\right|=\left|OB\right|.$  A jeżeli dwa sąsiednie boki czworokąta o wszystkich kątach prostych

są równe, to wszystkie jego boki są równe, co dowodzi, że czworokąt jest kwadratem.  $\square$