Zauważmy, że punkt  $B$  leży na prostej o równaniu  $y=ax,$  gdzie  $a=\text{tg}\alpha .$  

Okrąg o środku w punkcie  $\left(0,0\right)$  i promieniu  $2$  ma równanie  $x^2+y^2=4.$  

W takim razie, aby wyznaczyć współrzędne punktu  $B,$  wystarczy rozwiązać układ równań

$\{\begin{array}{l}y=ax\\ x^2+y^2=4\end{array}$         

Za każdym razem wstawiając w miejsce  $a$  odpowiednio obliczoną wartość tangensa kąta  $\alpha .$  

 

$\text{a)}a=\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Rozwiązujemy układ:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ x^2+y^2=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ x^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}x\right)}^2=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ x^2+\frac{1}{3}{x}^2=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ \frac{4}{3}{x}^2=4\text{/}\cdot \frac{3}{4}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ x^2=3\end{array}$

Otrzymujemy dwa przypadki:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ x=\sqrt{3}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ x=-\sqrt{3}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}\\ x=\sqrt{3}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \left(-\sqrt{3}\right)\\ x=-\sqrt{3}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=1\\ x=\sqrt{3}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-1\\ x=-\sqrt{3}\end{array}$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania  $B_1=\left(\sqrt{3},1\right)\vee B_2=\left(-\sqrt{3},-1\right).$   

Jedno z nich jest nieprawidłowe. Zauważmy, że jeżeli  $\alpha ={30}^{\circ },$