Niech na początku prostokąt ma wymiary  $a\times b,$  gdzie  $a<b.$  

Obliczmy pole tego prostokąta:  

$P=ab$  

Teraz mamy:

$b-x\%b=b-\frac{x}{100}b-$ dłuższy bok zmniejszony o  $x\%$  

$a+y\%a=a+\frac{y}{100}a-$ krótszy bok zwiększony o  $y\%$        

$ab+4,5\%ab=1,045ab-$ pole nowego prostokąta wzrosło o  $4,5\%$  

Jeżeli natomiast:

$b-y\%b=b-\frac{y}{100}b-$ dłuższy bok skrócony o  $y\%$  

$a+x\%a=a+\frac{x}{100}a-$ krótszy bok wydłużony o  $x\%$  

$ab-5,5\%ab=0,945ab-$  pole tego prostokąta zmalało o  $5,5\%$  

 

Obliczmy teraz pola tych prostokątów podstawiając długości nowych boków do wzoru na pole trójkąta. 

Wyniki porównamy z odpowiadającymi im polami. Otrzymamy dwa równania. Zapiszemy je od razu jako

układ równań:

$\{\begin{array}{l}\left(b-\frac{x}{100}b\right)\left(a+\frac{y}{100}a\right)=1,045ab\text{/}\cdot 10000\\ \left(b-\frac{y}{100}b\right)\left(a+\frac{x}{100}a\right)=0,945ab\text{/}\cdot 10000\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}\left(100b-bx\right)\left(100a+ay\right)=10450ab\\ \left(100b-yb\right)\left(100a+xa\right)=9450ab\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}10000ab+100aby-100abx-abxy=10450ab\\ 10000ab+100abx-100aby-abxy=9450ab\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-100abx+100aby-abxy=450ab\\ 100abx-100aby-abxy=-550ab\end{array}$       

Dodając równania stronami otrzymamy:

$-2abxy=-100ab\text{/}:\left(-2ab\right)\ne 0$  

$xy=50$  

Wiemy, że  $x$  i  $y$  są liczbami naturalnymi i żadna z nich nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Wypiszmy więc wszystkie możliwe iloczyny  $x\cdot y$  dające w wyniku  $50:$  

$1\cdot 50$  

$2\cdot 25$  

$5\cdot 10$  

$10\cdot 5$  

$25\cdot 2$  

$50\cdot 1$  

Liczby  $1$  i  $25$  są kwadratami liczby naturalnych, więc pozostaje tylko przypadek  $xy=5\cdot 10.$  

Musimy teraz ustalić, czy  $x=5,y=10,$  czy na odwrót  $x=10,y=5.$  

Sprawdźmy drugą opcję dla dowolnego równania z układu.

$-100abx+100aby-abxy=450ab$  

Podstawiamy  $x=10,y=5:$  

$-1000ab+500ab-50ab=450ab$  

$-550ab=450ab\text{/}:ab\ne 0$

$-550=450-$  dostaliśmy sprzeczność, czyli ten zestaw danych nie jest dobry

Sprawdźmy drugą możliwość. Podstawiamy  $x=5,y=10:$  

$-500ab+1000ab-50ab=450ab$  

$450ab=450ab-$ równość jest spełniona, zatem:

Odp.  $x=5,y=10.$