I liceum

I technikum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Niech <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c0829524-4c30-4365-a193-5ea7615ab1c7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> i <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/4fcd100f-bed1-452e-b4e4-0a3312b29fd2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> będą liczbami, o których mowa w zadaniu.
Suma tych liczb jest równa <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/49f34e56-8707-4689-a011-0021268f17dd_small.svg" type="image/svg+xml"></object> co zapiszemy następująco:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/e074fb11-ec9d-4252-b992-b663acf15fc2_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Niech <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/25f89e58-b9f3-4fca-814f-e7d1cd877ff3_small.svg" type="image/svg+xml"></object> oznacza ilość monet pięciogroszowych, a <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f3603e15-1c21-48e4-bd97-6d4f9b43d6b6_small.svg" type="image/svg+xml"></object> ilość monet dziesięciogroszowych.
W sumie w monetach jest <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/651ddd98-e971-4218-8622-4e8e9c947bea_small.svg" type="image/svg+xml"></object> groszy, co zapiszemy następująco:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/ce54c896-ba46-4376-abb8-a62eae0822eb_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Proste o podanych równaniach przecinają się w punkcie <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/70382f89-db57-4019-989f-b7bfabdc1d48_small.svg" type="image/svg+xml"></object> Oznacza to, że punkt <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/28ba3087-859f-4c69-a555-a0cd7765339e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> należy do wykresów
tych funkcji, a tym samym spełnia oba równania. Możemy więc podstawić współrzędne punktu <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/28ba3087-859f-4c69-a555-a0cd7765339e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> do wzorów
i wyznaczyć współczynniki <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/6bffc0e5-78f3-4bbb-b2bb-8ebfb5bf010c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> i <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/be79e586-37d5-429f-bb7f-9877e09b0337_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Niech <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/7e8e4954-1bd4-4d8f-87cd-1ac7acee5ef0_small.svg" type="image/svg+xml"></object> będą szukanymi liczbami, przy czym <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/2b7fd16a-fc56-4a3c-8993-6028fc68697c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Największa liczba ma przewyższać środkową o <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/0a92d5c9-5912-4017-a0e9-6f6fa56ff337_small.svg" type="image/svg+xml"></object> najmniejszej liczby, czyli:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/165439f9-7a6a-45d3-b4d2-c16abd2d2f2f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Środkowa liczba ma przewyższać najmniejszą o <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/0a92d5c9-5912-4017-a0e9-6f6fa56ff337_small.svg" type="image/svg+xml"></object> największej liczby, czyli:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/32438504-f391-4b0d-bbd4-e920a011f2f8_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Najmniejsza liczba ma przewyższać liczbę <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b6802cb5-b0b0-48bf-917f-dd1a124fae0d_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Niech <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f74c2b61-92ae-423f-9f14-eac2238ad31e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> oznacza wiek Macieja, a <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f62f8c3f-10ea-4d81-a888-eb9ec2087227_small.svg" type="image/svg+xml"></object> wiek jego siostry.
Maciej jest obecnie dwa razy starszy od swojej siostry, czyli:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/ba4e845b-13b7-44b6-914e-8cd418ea72e4_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
A <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/617ad18e-732d-4618-9dc6-9ef3d8028961_small.svg" type="image/svg+xml"></object> lat temu był od niej starszy o <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/8d4b202e-b651-4ee8-b76c-78ee5aabdd24_small.svg" type="image/svg+xml"></object> lat, czyli:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/407e7429-5040-4261-8ae8-cb5ebd30605e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Zapisujemy równania jako układ równań i wyznaczamy <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f74c2b61-92ae-423f-9f14-eac2238ad31e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> i <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/e567be9d-e0d9-4875-a806-1d898ab76518_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/ba719aa5-9534-44e4-beaa-26bd50caafb9_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/ba719aa5-9534-44e4-beaa-26bd50caafb9_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/e2277c80-9a61-4151-8909-458c06e0498a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Odejmujemy równania stronami, otrzymując:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/1be279e8-2093-4e0f-94ea-4298b808eb9a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c9d82dbf-1826-4405-99fa-946796532058_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Podstawiamy <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c9d82dbf-1826-4405-99fa-946796532058_small.svg" type="image/svg+xml"></object> do dowolnego równania z <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/a78bb901-b8ba-4487-9710-29bac97546a0_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/ba4e845b-13b7-44b6-914e-8cd418ea72e4_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/deaf51ce-cfad-40fb-85e1-e078ba8dd4e9_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/fea8c964-5714-48eb-869e-335acfe01836_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Odp. Maciej ma <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/15a13be5-a7d3-42c1-b880-f90ca8082318_small.svg" type="image/svg+xml"></object> lat, a jego siostra <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/8d4b202e-b651-4ee8-b76c-78ee5aabdd24_small.svg" type="image/svg+xml"></object> lat.

Niech <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/8d46b55f-6864-4c06-8780-b144204ca878_small.svg" type="image/svg+xml"></object> oznacza wiek brata, a <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f62f8c3f-10ea-4d81-a888-eb9ec2087227_small.svg" type="image/svg+xml"></object> wiek siostry. Siostra jest młodsza, więc <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/e6066df6-d29b-4942-970c-fbfcdc2b424a_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Różnica wieku między bratem i siostrą wynosi <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/617ad18e-732d-4618-9dc6-9ef3d8028961_small.svg" type="image/svg+xml"></object> lat, co zapiszemy następująco:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f6b26b78-cb05-47cd-89fc-b330f6ebf06c_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Niech <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c0829524-4c30-4365-a193-5ea7615ab1c7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> i <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/4fcd100f-bed1-452e-b4e4-0a3312b29fd2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> będą liczbami, o których mowa w zadaniu.
Różnica liczb wynosi <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b938367d-56ff-47b3-8c45-008f11dfb23e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> czyli: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b6037af3-b2fb-41a0-8845-f82ae450682a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Jeżeli pierwszą z nich zwiększymy dwa razy (otrzymamy <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/a3619def-417c-410b-9c9a-c22ef1f47ed6_small.svg" type="image/svg+xml"></object>), a drugą zwiększymy o <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/27c8323f-d2c8-4a20-9042-c74c29fad308_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Liczba podgrzybków ma się do liczby prawdziwków jak <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/ec44c3c7-c961-4a57-9db1-94cb463b1ce1_small.svg" type="image/svg+xml"></object> więc możemy przyjąć następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/ace1fcdb-3d41-401e-a91a-68db2536eff6_small.svg" type="image/svg+xml"></object>liczba podgrzybków
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/bee257db-b95d-4a3d-999e-c0dc96a7efcd_small.svg" type="image/svg+xml"></object>liczba prawdziwków
gdzie <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c0829524-4c30-4365-a193-5ea7615ab1c7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> to pewna liczba.
Na polanie rosło <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/76a4e6c9-4fb3-4382-b148-ce4243d69d2d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> grzybów, więc:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b25dc52a-a87a-4725-9483-4ac6399ea8b1_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/1d12e5cd-a374-452d-8ff1-e1a6c729944f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/8b31c4ba-2a7e-4c89-8e88-e95d30c0553f_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze