$\text{a)}\{\begin{array}{l}2\left(x+y\right)-3\left(x-y\right)=-7\\ -5\left(x+y\right)-4\left(x-y\right)=-17\end{array}$   

Stosujemy podstawienia:

$x+y=u$   

$x-y=t$        

Dostajemy układ równoważny:

$\{\begin{array}{l}2u-3t=-7\text{/}\cdot 5\\ -5u-4t=-17\text{/}\cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}10u-15t=-35\\ -10u-8t=-34\end{array}$   

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

$-23t=-69\text{/}:\left(-23\right)$   

$t=3$   

Wstawiamy  $t=3$   do równania  $2u-3t=-7:$  

$2u-3\cdot 3=-7$   

$2u=-7+9$           

$2u=2\text{/}:2$  

$u=1$  

Rozwiązaniem równoważnego układu równań jest para liczb:  

$\{\begin{array}{l}u=1\\ t=3\end{array}$  

Wstawiamy teraz te wartości do równań, w których wprowadzaliśmy podstawienia, otrzymując:

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=3\end{array}$  

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

$2x=4\text{/}:2$   

$x=2$  

Wstawiamy  $x=2$  do równania  $x+y=1:$  

$2+y=1$  

$y=-1$  

Rozwiązaniem początkowego układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}$  

Uwaga: Odpowiedź w zbiorze zadań jest nieprawidłowa.

 

$\text{b)}\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x+y\right)-\frac{x-y}{4}=-1\\ 3\left(x+y\right)-\frac{1}{2}\left(x-y\right)=2\end{array}$          

Stosujemy podstawienia:

$x+y=u$   

$x-y=t$        

Dostajemy układ równoważny:

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}u-\frac{t}{4}=-1\text{/}\cdot \left(-2\right)\\ 3u-\frac{1}{2}t=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-u+\frac{1}{2}t=2\\ 3u-\frac{1}{2}t=2\end{array}$  

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

$2u=4\text{/}:2$  

$u=2$  

Wstawiamy  $u=2$  do równania  $-u+\frac{1}{2}t=2:$  

$-2+\frac{1}{2}t=2$  

$\frac{1}{2}t=4\text{/}\cdot 2$  

$t=8$           

Rozwiązaniem równoważnego układu równań jest para liczb:  

$\{\begin{array}{l}u=2\\ t=8\end{array}$  

Wstawiamy teraz te wartości do równań, w których wprowadzaliśmy podstawienia, otrzymując:

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=8\end{array}$  

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

$2x=10\text{/}:2$   

$x=5$  

Wstawiamy  $x=5$  do równania  $x+y=2:$  

$5+y=2$  

$y=-3$  

Rozwiązaniem początkowego układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-3\end{array}$  

 

$\text{c)}\{\begin{array}{l}4\left(2x-y\right)-2\left(x-2y\right)=-5\left(2x-y\right)-12\\ -2\left(2x-y\right)-3\left(x-2y\right)+6=-2x+4y\end{array}$  

Zanim zrobimy odpowiednie podstawienie, poprzekształcajmy trochę powyższe równania:

$\{\begin{array}{l}9\left(2x-y\right)-2\left(x-2y\right)=-12\\ -2\left(2x-y\right)-3\left(x-2y\right)=-2\left(x-2y\right)-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}9\left(2x-y\right)-2\left(x-2y\right)=-12\\ -2\left(2x-y\right)-\left(x-2y\right)=-6\end{array}$  

Stosujemy podstawienia:

$2x-y=u$   

$x-2y=t$        

Dostajemy układ równoważny:

$\{\begin{array}{l}9u-2t=-12\\ -2u-t=-6\text{/}\cdot \left(-2\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}9u-2t=-12\\ 4u+2t=12\end{array}$  

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

$13u=0\text{/}:13$  

$u=0$  

Wstawiamy  $u=0$  do równania  $-2u-t=-6:$  

$-t=-6\text{/}\cdot \left(-1\right)$  

$t=6$  

Rozwiązaniem równoważnego układu równań jest para liczb:  

$\{\begin{array}{l}u=0\\ t=6\end{array}$  

Wstawiamy teraz te wartości do równań, w których wprowadzaliśmy podstawienia, otrzymując:

$\{\begin{array}{l}2x-y=0\text{/}\cdot \left(-2\right)\\ x-2y=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4x+2y=0\\ x-2y=6\end{array}$

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

$-3x=6\text{/}:\left(-3\right)$   

$x=-2$  

Wstawiamy  $x=-2$  do równania  $2x-y=0:$  

$2\cdot \left(-2\right)-y=0$  

$y=-4$  

Rozwiązaniem początkowego układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-4\end{array}$  

 

$\text{d)}\{\begin{array}{l}15xy-\frac{1}{2}x=29\frac{7}{8}\\ 4xy+16x=12\end{array}$  

Stosujemy podstawienia:

$xy=u$   

$x=t$        

Dostajemy układ równoważny:

$\{\begin{array}{l}15u-\frac{1}{2}t=\frac{239}{8}\text{/}\cdot 8\\ 4u+16t=12\text{/}:4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}120u-4t=239\\ u+4t=3\end{array}$  

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

$121u=242\text{/}:121$  

$u=2$  

Wstawiamy  $u=2$  do równania  $u+4t=3:$  

$2+4t=3$  

$4t=1\text{/}:4$  

$t=\frac{1}{4}$  

Rozwiązaniem równoważnego układu równań jest para liczb:  

$\{\begin{array}{l}u=2\\ t=\frac{1}{4}\end{array}$  

Wstawiamy teraz te wartości do równań, w których wprowadzaliśmy podstawienia, otrzymując:

$\{\begin{array}{l}xy=2\\ x=\frac{1}{4}\end{array}$  

Wstawiamy  $x=\frac{3}{4}$  do pierwszego równania:

$\frac{1}{4}y=2\text{/}\cdot 4$   

$y=8$  

Rozwiązaniem początkowego układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}\\ y=8\end{array}$