Matematyka

Rozwiąż nierówność 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`(2x-3)/2<(4-x)/6\ \ \ \ \ |*6` 

`3(2x-3)<4-x` 

`6x-9<4-x\ \ \ \ |+x` 

`7x-9<4\ \ \ \ |+9` 

`7x<13\ \ \ |:7` 

`x<13/7` 

`x<1 6/7` 

Liczby naturalne spełniające tą nierówność to 0 i 1.

 

 

`b)` 

`2(x-4)<-(x-11)` 

`2x-8<-x+11\ \ \ |+x` 

`3x-8<11\ \ \ |+8` 

`3x<19\ \ \ |:3` 

`x<19/3` 

`x<6 1/3` 

Liczby naturalne spełniające tą nierówność to 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 

 

W przykładach c i d przydadzą się wzory skróconego mnożenia: 

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` 

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` 

`(a-b)(a+b)=a^2-b^2` 

 

 

`c)` 

`1-(x+3)^2>=(1-x)(1+x)-21` 

`1-(x^2+6x+9)>=1-x^2-21` 

`1-x^2-6x-9>=1-x^2-21\ \ \ \ |+x^2` 

`1-6x-9>=1-21` 

`-8-6x>=-20\ \ \ |+8` 

`-6x>=-12\ \ \ \ |:(-6)` 

`x<=2` 

Liczby naturalne spełniające tą nierówność to 0, 1, 2. 

 

 

`c)` 

`(2x-1)^2-2x^2>=(sqrt2x-1)^2-2` 

`(4x^2-4x+1)-2x^2>=(2x^2-2sqrt2x+1)-2` 

`4x^2-4x+1-2x^2>=2x^2-2sqrt2x+1-2` 

`2x^2-4x+1>=2x^2-2sqrt2x-1\ \ \ \ |-2x^2` 

`-4x+1>=-2sqrt2x-1\ \ \ \ |+2sqrt2x` 

`(2sqrt2-4)x+1>=-1\ \ \ \ |-1` 

`(2sqrt2-4)x>=-2\ \ \ |:(2sqrt2-4)<0`   

`x<=-2/(2sqrt2-4)`

`x<=(-2*(2sqrt2+4))/((2sqrt2-4)*(2sqrt2+4))`  

`x<=(-2*(2sqrt2+4))/((2sqrt2)^2-4^2)`  

`x<=(-2*(2sqrt2+4))/(8-16)`  

`x<=(-2*(2sqrt2+4))/(-8)`  

`x<=(2sqrt2+4)/4`  

`x<=(sqrt2+2)/2`  

 

`(sqrt2+2)/2~~(1,41+2)/2=(3,41)/2=1,705` 

 

``Liczby naturalne spełniające tą nierówność to 0 i 1. 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy
Autorzy: Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Ułamki dziesiętne i ich budowa
Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysięczne itd.

Przykład:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$ -> łatwo zauważyć, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Zobacz także
Udostępnij zadanie