Obliczmy różnicę  $a_{n+1}-a_n$  dla ogólnego wyrazu ciągu  $a_n=a_1-\left(n-1\right)\cdot r.$  

$a_{n+1}-a_n=a_1-\left(n+1-1\right)\cdot r-a_1+\left(n-1\right)\cdot r=-nr+nr-r=r$   

Wynika stąd, że różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego

jest równa różnicy ciągu arytmetycznego (z dokładnością do znaku).

Oznacza to, że dla ciągu z zadania różnica trzeciego i drugiego wyrazu ciągu powinna być

taka sama jak różnica drugiego i pierwszego wyrazu tego ciągu. Czyli ma zachodzić:

$k-3-2k=2k-\left(k^2+k\right)$  

Rozwiązujemy równanie:

$-k-3=2k-k^2-k$