Zbadamy, czy ciąg nieskończony  $\left(a_n\right)$  jest rosnący, czy malejący. Zbadamy znak różnicy  $a_{n+1}-a_n.$  

Jeśli otrzymamy:

• $a_{n+1}-a_n>0$  dla każdego  $n\in {\mathbf{N}}_{+},$  to ciąg jest rosnący,
• $a_{n+1}-a_n<0$  dla każdego  $n\in {\mathbf{N}}_{+},$  to ciąg jest malejący,
• $a_{n+1}-a_n=0$  dla każdego  $n\in {\mathbf{N}}_{+},$  to ciąg jest stały,
• dla pewnych  $n\in {\mathbf{N}}_{+}$  będzie zachodziło  $a_{n+1}-a_n>0,$  a dla pewnych  $n\in {\mathbf{N}}_{+}{a}_{n+1}-a_n<0,$  to ciąg będzie niemonotoniczny.

$\text{a)}{a}_{n+1}-a_n={\left(-1\right)}^{2\left(n+1\right)+1}-{\left(-1\right)}^{2n+1}={\left(-1\right)}^{2n+2+1}-{\left(-1\right)}^{2n+1}={\left(-1\right)}^{2n+3}-{\left(-1\right)}^{2n+1}=$    

$={\left(-1\right)}^{2n+1}\left[{\left(-1\right)}^2-1\right]={\left(-1\right)}^{2n+1}\left[1-1\right]=0$  

Oznacza to, że ciąg  $\left(a_n\right)$  jest stały, a więc jest monotoniczny.

$\text{b)}{a}_{n+1}-a_n={\left(\left(n+1\right)+4\right)}^2-{\left(n+4\right)}^2={\left(n+5\right)}^2-{\left(n+4\right)}^2=\left[n+5-\left(n+4\right)\right]\left[n+5+\left(n+4\right)\right]=$  

$=\left(n+5-n-4\right)\left(n+5+n+4\right)=2n+9>0$  dla każdego  $n\in {\mathbf{N}}_{+}$  

Oznacza to, że ciąg  $\left(a_n\right)$  jest rosnący, a więc jest monotoniczny.

$\text{c)}{a}_{n+1}-a_n={\left(-1\right)}^{n+1}\cdot \left(n+1\right)-{\left(-1\right)}^n\cdot n={\left(-1\right)}^n\left[-\left(n+1\right)-n\right]={\left(-1\right)}^n\left(-n-1-n\right)=$  

$={\left(-1\right)}^n\left(-2n-1\right)=\left(2n+1\right){\left(-1\right)}^{n+1}$  

Zauważmy, że:

• wyrażenie  $2n+1$  jest dodatnie dla każdego  $n\in {\mathbf{N}}_{+},$  
• wyrażenie  ${\left(-1\right)}^{n+1}$  jest dodatnie dla  $n$  nieparzystych i ujemne dla  $n$  parzystych.     

Wobec tego znak wyrażenia  $a_{n+1}-a_n$  zależy od  $n,$  czyli ciąg  $\left(a_n\right)$  jest niemonotoniczny.