$\text{a)}$  Zamieniamy wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka na postać iloczynową: 

$\frac{2x^3+5x^2-4x-3}{x^3+3x^2-x-3}=\frac{2x^3+5x^2-3x-x-3}{x^2\left(x+3\right)-\left(x+3\right)}=\frac{x\left(2x^2+5x-3\right)-\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x^2-1\right)}$  

Rozważmy funkcję  $f\left(x\right)=2x^2+5x-3$  i wyznaczmy jej pierwiastki. 

$\Delta =25+24=49$  

$x_1=\frac{-5-7}{4}=-3\vee x_2=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}$  

Zatem  $f\left(x\right)$  możemy zapisać następująco: 

$f\left(x\right)=2\left(x+3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

Wracając do zamieniania wyrażeń w ułamku na postać iloczynową, mamy:

  $\frac{x\left(2x^2+5x-3\right)-\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x^2-1\right)}=\frac{2x\left(x+3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)-\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{\left(x+3\right)\left[2x\left(x-\frac{1}{2}\right)-1\right]}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=$   

$=\frac{\left(x+3\right)\left(2x^2-x-1\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$  

Z wzorów Viete'a dla równania  $2x^2-x-1=0$  mamy:    

$x_1+x_2=\frac{1}{2}$  

$x_1\cdot x_2=-\frac{1}{2}$  

Powyższe równości spełniają liczby  $1$  i  $-\frac{1}{2},$