Łatwo zauważyć, że rozwiązaniem równania $3x^3+2\left(p-2\right)x^2-2px+1=0$  jest liczba 1, bo:

$3+2\left(p-2\right)-2p+1=3+2p-4-2p+1=0$  

Wobec tego, na podstawie twierdzenia Bezouta, wielomian

$W\left(x\right)=3x^3+2\left(p-2\right)x^2-2px+1$  

jest podzielny przez dwumian (x-1).

W wyniku tego dzielenia otrzymamy wielomian Q(x) taki, że W(x)=(x-1)٠Q(x).

Wykonajmy dzielenie:

	$3$	$2p-4$	$-2p$	$1$
$1$		$3$	$2p-1$	$1$
	$3$	$2p-1$	$-1$	$0$

Otrzymaliśmy:

$Q\left(x\right)=3x^2+\left(2p-1\right)x-1$       

Wielomian Q(x) jest funkcją kwadratową. Chcemy dobrać p w taki sposób, by Q(x) miał dwa rozwiązania różne od 1.

Musi zachodzić warunek: Δ>0.

Obliczamy:     

$\Delta ={\left(2p-1\right)}^2+12=4p^2-4p+1+12=4p^2-4p+13$   

Chcemy rozwiązać równanie Δ>0. Rozpatrzmy w tym celu funkcję:

$f\left(p\right)=4p^2-4p+13$  

Obliczmy wyznacznik funkcji f:

${\Delta }_f=16-208<0$     

Zauważmy, że współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc parabola będzie znajdowała się nad osią p.

Wobec tego Δ>0 dla każdego p ∈ R.

Chcemy, by rozwiązania były różne od 1.Oznacza to, że:

$Q\left(1\right)\ne 0$  

Czyli:

$Q\left(1\right)\ne 0\iff 3+2p-1-1\ne 0\iff 2p+1\ne 0\iff p\ne -\frac{1}{2}$    

Podsumowując:

Równanie  $3x^3+2\left(p-2\right)x^2-2px+1=0$  ma trzy różne rozwiązania dla  $p\in \mathbf{R}\text{}\left\{-\frac{1}{2}\right\}.$