Sprawdzamy, że  $1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$    

$W\left(1\right)=2-4+5-6+3=0$  

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  można zapisać następująco:  

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot Q\left(x\right)$  

Wyznaczmy postać  $Q\left(x\right),$  stosując algorytm Hornera dla wielomianu  $W\left(x\right):$   

	$2$	$-4$	$5$	$-6$	$3$
$1$		$2$	$-2$	$3$	$-3$
	$2$	$-2$	$3$	$-3$	$0$

Otrzymaliśmy:

$Q\left(x\right)=2x^3-2x^2+3x-3$  

Zauważmy, że wielomian  $Q\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$Q\left(x\right)=2x^2\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(2x^2+3\right)$  

Zatem  $W\left(x\right)$  ma następującą postać:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(2x^2+3\right)={\left(x-1\right)}^2\left(2x^2+3\right)$  

Sprawdzamy, że  $1$  nie jest pierwiastkiem wielomianu  $P\left(x\right)=2x^2+3:$   

$P\left(1\right)=2+3=5\ne 0$  

Oznacza to, że  $1$  jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu  $W\left(x\right),$ co należało dowieść.