$a)$

 Oznaczmy pomocniczo funkcję pod wartością bezwzględną i znajdźmy jej postać kanoniczną: 

$g\left(x\right)=x^2-2x-3=\left(x^2-2x+1\right)-1-3={\left(x-1\right)}^2-4$

$y=x^2\stackrel{\overrightarrow{v}=\left[1,-4\right]}{\to }y={\left(x-1\right)}^2-4=g\left(x\right)\stackrel{S_{OX}^{-}}{\to }y=\left|{\left(x-1\right)}^2-4\right|=f\left(x\right)$

Przesuwamy początek układu współrzędnych o 1 jednostkę w prawo i 4 jednostki w dół, w tak przesuniętym układzie kreślimy wykres funkcji y=x², w ten sposób otrzymując wykres funkcji g(x). Następnie odbijamy symetrycznie względem osi OX tą część wykresu funkcji g(x), która znajduje się pod osią OX. 

Zaznaczony na zielono wykres to wykres funkcji f(x). 

$D_f=\mathbb{R}$

$Z{W}_F=⟨0;+\infty )$

$f\left(x\right)=0\iff x=-1\vee x=3$

$f\left(x\right)>0\iff x\in \mathbb{R}-\left\{-1,3\right\}$

$f\left(x\right)<0\iff x\in \varnothing$