Matematyka

Autorzy:Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda

Wydawnictwo:Krzysztof Pazdro

Rok wydania:2014

Naszkicuj wykres funkcji f 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Naszkicuj wykres funkcji f

1
 Zadanie

2
 Zadanie

`a)` 

`f(x)=x*|x-1|={(x*(x-1)\ \ \ \ \ \ \ x>1), (x*(-(x-1))\ \ \ \ x<=1):}={(x^2-x\ \ \ \ \ \ \ x>1), (-x^2+x\ \ \ \ \ \ \ x<=1):}` 

 

Do narysowania funkcji przyda się postać kanoniczna.

Oznaczmy pomocniczo:

`g(x)=x^2-x,\ \ \ \ p_g=1/(2*1)=1/2,\ \ \ \ q_g=g(1/2)=(1/2)^2-1/2=1/4-1/2=-1/4\ \ \ =>\ \ \ g(x)=(x-1/2)^2-1/4` 

`y=x^2\ \ \ #(->)^(vecv=[1/2,\ -1/4])\ \ \ y=g(x)` 

Wykres funkcji g dostaniemy przesuwając parabole y=x² o 1/2 jednostki w prawo i o 1/4 jednostki w dół.

 

 

`h(x)=-x^2+x` 

 

 

Zauważmy, że:

`h(x)=-x^2+x=-(x^2-x)=-g(x)\ \ \ =>\ \ \ y=g(x)\ \ \ #(->)^(S_(OX))\ \ \ y=h(x)` 

Aby otrzymać wykres funkcji h wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX wykres funkcji g. 

 

 

Rysujemy obie funkcje w układzie współrzędnych, potem pogrubiamy wykres funkcji f(x) - pamiętając, że dla x większych od 1 bierzemy funkcję g(x), a dla x mniejszych lub równych 1 bierzemy funkcję h(x)

      

`D_f=RR` 

`ZW_f=RR` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x =0\ \ \ vee\ \ \ x =1` 

`f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (0, \ 1)\ uu\ (1,\ infty)` 

`f(x)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 0)` 

`fuarr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ 1/2),\ \ x in (1,\ +infty)` 

`fdarr\ \ \ <=>\ \ \ x in (1/2,\ 1)` 

`f_(max),\ \ \ f_(mi n)\ \ \ -\ \ \ brak` 

funkcja f nie jest różnowartościowa 

 

 

 

 

 

`b)`

 `f(x)=|x+3|*x-2x={((x+3)*x-2x\ \ \ \ \ x > -3), (-(x+3)*x-2x\ \ \ \ \ x <=-3):}={(x^2+3x-2x\ \ \ \ x> -3), (-x^2-3x-2x\ \ \ \ x<=-3):}={(x^2+x\ \ \ \ x> -3), (-x^2-5x\ \ \ \ x<=-3):} ` 

 

`g(x)=x^2+x,\ \ \ \ p_q=(-1)/2,\ \ \ q_g=g(-1/2)=(-1/2)^2-1/2=-1/4\ \ \ \ =>\ \ \ \ g(x)=(x+1/2)^2-1/4` 

`y=x^2\ \ \ \ #(->)^(vecv=[-1/2,\ -1/4])\ \ \ \ y=g(x)`  

Wykres funkcji g dostaniemy przesuwając parabole y=x² o 1/2 jednostki w lewo i o 1/4 jednostki w dół.

 

 

`h(x)=-x^2-5x,\ \ \ \ p_h=5/(-2)=-5/2=-2 1/2,\ \ \ \ q_h=h(-5/2)=-(-5/2)^2-5*(-5/2)=-25/4+25/2=25/4=6 1/4\ \ \ \ =>\ \ \ \ h(x)=-(x+2 1/2)^2+6 1/4`  

`y=-x^2\ \ \ \ #(->)^(vecv=[-2 1/2,\ 6 1/4]) \ \ \ \ y=h(x)` 

 Wykres funkcji h dostaniemy przesuwając parabole y=-x² o 2 1/2 jednostki w lewo i o 6 1/4 jednostki w górę. 

 

Rysujemy obie funkcje w układzie współrzędnych, potem pogrubiamy wykres funkcji f(x) - pamiętając, że dla x większych od -3 bierzemy funkcję g(x), a dla x mniejszych lub równych -3 bierzemy funkcję h(x)

 

 

`D_f=RR` 

`ZW_f=RR` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ x =-5\ \ \ vee\ \ \ x=-1\ \ \ vee\ \ \ x=0` 

`f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-5,\ -1)\ uu\ (0,\ +infty)` 

`f(x)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -5)\ uu\ (-1,\ 0)` 

`fuarr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -3),\ \ x in(-1/2,\ +infty)` 

`fdarr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-3,\ -1/2)` 

 

`f_(max),\ f_(mi n)\ \ \ -\ \ \ brak` 

funkcja nie jest różnowartościowa

 

 

 

 

 

`c)` 

`f(x)=x^2-|x^2-4|={(x^2-(x^2-4)\ \ \ \ gdy\ \ \ x in (-infty;\ -2)uu(2;\ +infty)),(x^2+(x^2-4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ gdy\ \ \ x in <<-2;\ 2>>):}={(4\ \ \ \ \ \ \ \ gdy\ \ \ x in (-infty;\ -2)uu(2;\ +infty)), (2x^2-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ gdy\ \ \ x in <<-2;\ 2>>):}` 

 

`g(x)=2x^2-4` 

`y=2x^2\ \ \ #(->)^(vecv=[0,\ -4])\ \ \ y=g(x)` 

Aby narysować wykres funkcji g(x) wystarczy przesunąć parabolę y=2x² o 4 jednostki w dół.

Rysujemy od razy wykres funkcji f(x):

 

 

`D_f=RR` 

`ZW_f=<<-4,\ 4>>` 

`f(x)=0\ \ \ <=>\ \ \ 2x^2-4=0\ \ \ <=>\ \ \ x^2-2=0\ \ \ <=>\ \ \ x=-sqrt2\ \ \ vee\ \ \ x=sqrt2` 

`f(x)>0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -sqrt2)\ uu\ (sqrt2,\ +infty)` 

`f(x)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-sqrt2,\ sqrt2)` 

`fuarr\ \ \ <=>\ \ \ x in (0,\ 2)` 

`fdarr\ \ \ <=>\ \ \ x in (-2,\ 0)` 

`f=const\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty,\ -2),\ \ x in (2,\ +infty)` 

`f_(max)=4\ \ \ dla\ \ \ x in(-infty,\ -2>>\ uu\ <<2,\ +infty)` 

`f_(m i n)=-4\ \ \ dla\ \ \ x=0` 

f nie jest różnowartościowa