$a)$

$f\left(x\right)=x\cdot \left|x-1\right|=\{\begin{array}{l}x\cdot \left(x-1\right)x>1\\ x\cdot \left(-\left(x-1\right)\right)x\le 1\end{array}=\{\begin{array}{l}{x}^2-xx>1\\ -x^2+xx\le 1\end{array}$

 

Do narysowania funkcji przyda się postać kanoniczna.

Oznaczmy pomocniczo:

$g\left(x\right)=x^2-x,p_g=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2},q_g=g\left(\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\Rightarrow g\left(x\right)={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$

$y=x^2\stackrel{\overrightarrow{v}=\left[\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right]}{\to }y=g\left(x\right)$

Wykres funkcji g dostaniemy przesuwając parabole y=x² o 1/2 jednostki w prawo i o 1/4 jednostki w dół.

 

 

$h\left(x\right)=-x^2+x$

 

 

Zauważmy, że:

$h\left(x\right)=-x^2+x=-\left(x^2-x\right)=-g\left(x\right)\Rightarrow y=g\left(x\right)\stackrel{S_{OX}}{\to }y=h\left(x\right)$

Aby otrzymać wykres funkcji h wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX wykres funkcji g. 

 

 

Rysujemy obie funkcje w układzie współrzędnych, potem pogrubiamy wykres funkcji f(x) - pamiętając, że dla x większych od 1 bierzemy funkcję g(x), a dla x mniejszych lub równych 1 bierzemy funkcję h(x)

      

$D_f=\mathbb{R}$

$Z{W}_f=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=0\iff x=0\vee x=1$

$f\left(x\right)>0\iff x\in \left(0,1\right)\cup \left(1,\infty \right)$