Przeprowadzimy dowód nie wprost. Przypuśćmy, że przesunięcie równoległe o wektor niezerowy ma punkty stałe.

$Z:\overrightarrow{u}\ne 0$

$T:\underset{A}{\bigvee }:T_{\overrightarrow{u}}\left(A\right)=A$ $T:\underset{A}{\bigvee }:T_{\overrightarrow{u}}\left(A\right)=A$

(zapis powyżej oznacza, że istnieje taki punkt A, którego obrazem poprzez translację o wektor u jest ten sam punkt A, czyli A jest punktem stałym tej translacji).

$D:$

Z definicji translacji o wektor możemy zapisać, że:

$\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{u},ale\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0},czyli\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}-\text{sprzeczne z zał.}\square$