$a)$

Podstawą pudełka jest kwadrat o boku 12-2x, wysokość pudełka to x. Oczywiście te wielkości muszą być dodatnie, ponieważ wyrażają długość, więc zapiszmy założenia: 

$\{\begin{array}{l}12-2x>0\\ x>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<6\\ x>0\end{array}\Rightarrow x\in \left(0,6\right)$

 

Obliczmy objętość pudełka:

$V\left(x\right)={\left(12-2x\right)}^2\cdot x=\left({12}^2-2\cdot 12\cdot 2x+{\left(2x\right)}^2\right)\cdot x=$

$=\left(144-48x+4x^2\right)\cdot x=4x^3-48x^2+144x$

 

 

 

$b)$

 

$V\left(2\right)=4\cdot 2^3-48\cdot 2^2+144\cdot 2=$   

$=4\cdot 8-48\cdot 4+288=$  

$=32-192+288=128$  

 

$V\left(3\right)=4\cdot 3^3-48\cdot 3^2+144\cdot 3=$  

$=4\cdot 27-48\cdot 9+432=$  

$=108-432+432=108$  

 

$V\left(4\right)=4\cdot 4^3-48\cdot 4^2+144\cdot 4=$  

$=4\cdot 64-48\cdot 16+576=$  

$=256-768+576=64$  

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$V\left(x\right)$	$100$	$128$	$108$	$64$	$20$

 

 

 

$c)$  

Pudełko będzie sześcianem, jeśli wszystkie jego krawędzie będą równe: 

$12-2x=x\mid +2x$  

$3x=12\mid :3$  

$x=4$  

 

$V\left(4\right)=64d{m}^3$   (obliczaliśmy już w b)