a)

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(0-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(2-5\right)}^2}=\sqrt{{\left(0+4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(8-0\right)}^2+{\left(-4-2\right)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

$\left|AC\right|={\sqrt{8-\left(-4\right)}}^2+{\left(-4-5\right)}^2)=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$

Aby sprawdzić, czy te punkty są współliniowe, wyznaczymy równanie prostej z dwóch punktów i sprawdzimy, czy równanie jest spełnione również dla trzeciego punktu.

$y=ax+b$

$A\left(-4,5\right)$

$B\left(0,2\right)$

$\{\begin{array}{l}5=-4\cdot a+b\\ 2=0\cdot a+b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}5=-4a+b\\ 2=b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}5=-4a+2\\ 2=b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3=-4a\mid :\left(-4\right)\\ 2=b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{4}\\ 2=b\end{array}$

$y=-\frac{3}{4}x+2$

Sprawdzamy, czy punkt C(8,-4) należy do tej prostej:

$-4\stackrel{?}{=}-\frac{3}{\sout{4}}\cdot \sout{8}+2$

$-4\stackrel{?}{=}-3\cdot 2+2$

$-4=-4$

Punkt C należy do prostej AB, zatem punkty A,B i C są współliniowe. 

b)

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-3-13\right)}^2+{\left(-3-5\right)}^2}=\sqrt{256+64}=\sqrt{320}=\sqrt{64\cdot 5}=8\sqrt{5}$