$\text{a)}$  

Trójkąt wyznaczony przez kąt środkowy i cięciwę łączącą punkty przecięcia ramion tego kąta z okręgiem jest równoboczny, ponieważ ramiona tego kąta to promienie, a długość cięciwy jest również - jak oznaczono na rysunku- o długości promienia.    

Kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego wynoszą 60^o, dlatego:

$\alpha ={60}^o$

$\beta ={60}^o$

Kąt  $\gamma$   to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy  $\beta ,$  zatem ma więc miarę dwa razy od niego mniejszą.

$\gamma ={60}^o:2={30}^o$

---

$\text{b)}$  

Podobnie jak w podpunkcie a) kąt  $\alpha$   to kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego, zatem:

$\alpha ={60}^o$

Trójkąt o kątach wewnętrznych  $\alpha$   i  $\beta$   to trójkąt prostokątny (jest to trójkąt oparty na średnicy tego okręgu).

Zatem otrzymujemy:

${60}^{\circ }+\gamma ={90}^{\circ }$  

$\gamma ={30}^{\circ }$  

 

Natomiast trójkąt którego kątami wewnętrznymi są kąty  $\gamma$   i  $\beta$   jest równoramienny, a co za tym idzie, kąty leżące przy jego ramionach - czyli  $\gamma$   i $\beta$   są równe.

Wobec tego:

$\gamma =\beta$

Czyli mamy:

$\beta ={30}^{\circ }$  

---

$\text{c)}$  

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że czworokąt AOCD to romb (wszystkie boki są długości r), zatem:

$\delta =\alpha$  

Łatwo zauważyć, że:

$\left|OD\right|=r$  

Zatem trójkąt AOD to trójkąt równoboczny, zatem:

$\frac{1}{2}\alpha ={60}^{\circ }\Rightarrow \alpha ={120}^{\circ }$  

Obliczamy teraz miarę kąta  $\beta ,$   korzystając z własności, że kąt pełny ma miarę 360^o.

$\alpha +\beta ={360}^o$

${120}^o+\beta ={360}^o$

$\beta ={360}^o-{120}^o$

$\beta ={240}^o$

Kąt  $\gamma$   to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy  $\alpha ,$  zatem:

$\gamma ={120}^o:2={60}^o$