$a)$  

$0\le \sin \alpha \le 1$  

$\text{Zauwaz˙my, z˙e jez˙eli przedstawimy kąt w układzie wsoˊłrzędnych to dowolny punkt P(x,y) z ramienia konˊcowego}$   

$\text{kąta}\alpha \text{będzie spełniał:}y\ge 0.\text{(Punkt P jest roˊz˙ny od początku układu wspoˊłrzędnych (0,0))}$     

$\sin \alpha =\frac{y}{r}$  

$r=\sqrt{x^2+y^2}$     

$y\ge 0$  

$y=\left|y\right|=\sqrt{y^2}\le \sqrt{x^2+y^2}$   

$\text{czyli:}\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\le 1$   

$\text{Dodatkowo y oraz}\sqrt{x^2+y^2}\text{są zawsze nieujemne, czyli:}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\ge 0$   

 

$0\le \sin \alpha \le 1$    

 

$b)$  

$\text{Dowolny punkt P(x,y) z ramienia konˊcowego naszego kąta będzie spełniał:}x\in \mathbb{R},y\ge 0.$  

$\cos \alpha =\frac{x}{r}$  

$r=\sqrt{x^2+y^2}$  

$r>0,\text{poniewaz˙ r to pierwiastek z sumy dodatnich liczb. Kaz˙da liczba podniesiona do kwadratu daje liczbę dodatnią.}$         

$\left|x\right|=\sqrt{x^2}\le \sqrt{x^2+y^2}$   

$\frac{\left|x\right|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le 1$  

$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\le 1\wedge -\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\le 1\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ge -1$  

 

$-1\le \cos \alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\le 1$  

$-1\le \cos \alpha \le 1$