W tym zadaniu korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego  $\left(a_n\right)$  o pierwszym wyrazie  $a_1$  i ilorazie  $q$ :

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$\text{a)}$  

Dla  $n=2\text{i}n=3$  otrzymujemy:

$a_2=a_1\cdot q^{2-1}=a_1\cdot q$  

$a_3=a_1\cdot q^{3-1}=a_1\cdot q^2$  

Zauważmy, że:

$a_3=a_1\cdot q^2=\underset{a_2}{\underbrace{a_1\cdot q}}\cdot q=a_2\cdot q$  

Czyli:

$a_3=a_2\cdot q$  

Po podzieleniu obu stron powyższego równania przez  $a_2$  mamy:

$\frac{a_3}{a_2}=q$  

Wyznaczamy iloraz  $q$  tego ciągu.

$\frac{\frac{2}{15}}{\frac{5}{12}}=q$  

Stąd:

$q=\frac{8}{25}$  

Wyznaczamy pierwszy wyraz tego ciągu.

$a_2=a_1\cdot q\mid :q$     

$\frac{a_2}{q}=a_1$     

A więc:

$a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{\frac{5}{12}}{\frac{8}{25}}=\frac{125}{96}$     

Ciąg geometryczny  $\left(a_n\right)$  dany jest wzorem ogólnym:

$a_n=\frac{125}{96}\cdot {\left(\frac{8}{25}\right)}^{n-1}$