$a)$

$\frac{\left|AB\right|}{\left|DE\right|}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

$\frac{\left|AC\right|}{\left|DF\right|}=\frac{4}{5}$

 

$tw.Pitagorasadla\Delta ABC$

$8^2+4^2={\left|BC\right|}^2$

$64+16={\left|BC\right|}^2$

$\left|BC\right|=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$

 

$tw.Pitagorasadla\Delta DEF$

${10}^2+5^2={\left|FE\right|}^2$

$100+25={\left|FE\right|}^2$

$\left|FE\right|=\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}$

 

$\frac{\left|BC\right|}{\left|FE\right|}=\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$

 

 

Stosunek długości boków trójkąta ABC to trójkąta DEF jest stały, więc na mocy cechy bok-bok-bok te trójkąty są przystające. 

  $O_{\Delta ABC}=8+4+4\sqrt{5}=4\left(3+\sqrt{5}\right)$  

$O_{\Delta DEF}=5+10+5\sqrt{5}=5\left(3+\sqrt{5}\right)$    

 

 

 

 

$b)$  

 

$\left|AB\right|=12,\left|AC\right|=6$  

${12}^2+6^2={\left|BC\right|}^2$  

$144+36={\left|BC\right|}^2$  

${\left|BC\right|}^2=180$  

$\left|BC\right|=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$  

 

$O_{\Delta ABC}=12+6+6\sqrt{5}=6\left(3+\sqrt{5}\right)$  

Stosunek obwodów także jest równy skali podobieństwa, więc możemy zapisać:

$\frac{O_{\Delta DEF}}{O_{\Delta ABC}}=\frac{3}{4}$  

$\frac{O_{\Delta DEF}}{6\left(3+\sqrt{5}\right)}=\frac{3}{4}$  

$O_{\Delta DEF}=\frac{3}{4}\cdot 6\cdot \left(3+\sqrt{5}\right)=$   $\frac{3}{2}\cdot 3\cdot \left(3+\sqrt{5}\right)=$   $\frac{9\left(3+\sqrt{5}\right)}{2}$