`a)`
`f(x)=0`
`x^2-2x-3=0`
`Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=` `4+12=16`
`sqrtDelta=sqrt16=4`
`x_1=(2-4)/2=-2/2=-1`
`x_2=(2+4)/2=6/2=3`
`g(x)=0`
`3x^2+2x-1=0`
`Delta=2^2-4*3*(-1)=` `4+12=16`
`sqrtDelta=sqrt16=4`
`x_1=(-2-4)/(2*3)=-6/6=-1`
`x_2=(-2+4)/(2*3)=2/(2*3)=1/3`
Współnym miejscem zerowym funkcji f i g jest x=-1.
`b)`
`f(x)=0`
`3x^2-8x+4=0`
`Delta=(-8)^2-4*3*4=` `64-48=16`
`sqrtDelta=sqrt16=4`
`x_1=(8-4)/(2*3)=` `4/6=2/3`
`x_2=(8+4)/(2*3)=12/6=2`
`g(x)=0`
`-3x^2-4x+4=0`
`Delta=(-4)^2-4*(-3)*4=` `16+48=64`
`sqrtDelta=sqrt64=8`
`x_1=(4-8)/(2*(-3))=` `-4/(-6)=2/3`
`x_2=(4+8)/(2*(-3))=12/(-6)=-2`
Wspólnym miejscem zerowym funkcji f i g jest x=2/3
`c)`
`f(x)=0`
`x^2-3/2x-1=0`
`Delta=(-3/2)^2-4*1*(-1)=` `9/4+4=9/4+16/4=25/4`
`sqrtDelta=sqrt(25/4)=5/2`
`x_1=(3/2-5/2)/2=` `(-2/2)/2=-1/2`
`x_2=(3/2+5/2)/2=(8/2)/2=4/2=2`
`g(x)=0`
`-2x^2+3x+2=0`
`Delta=3^2-4*(-2)*2=` `9+16=25`
`sqrtDelta=sqrt25=5`
`x_1=(-3-5)/(2*(-2))=` `-8/(-4)=2`
`x_2=(-3+5)/(2*(-2))=` `2/(-4)=-1/2`
Funkcje f i g mają dwa wspólne miejsca zerowe, x=2 i x=-1/2
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy (Podręcznik)
Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."
Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.
Przykład obliczania reszty z dzielenia:
- Podzielmy liczbę 23 przez 3.
- Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
- $$7 • 3 = 21$$
- Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
- Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$
Przykłady:
- $$5÷2=2$$ r. 1
- $$27÷9=3$$ r. 0
- $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
- $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1
Zapamiętaj
Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.
Wyróżniamy cyfry podstawowe:
- I = 1
- X = 10
- C = 100
- M = 1000
oraz cyfry pomocnicze:
- V = 5
- L = 50
- D = 500
Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.
Przykłady:
- XV → 10+5=15
- XXXII → 10+10+10+1+1=32
- CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
- MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557
W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.
Przykłady:
- IX → -1+10=10-1=9
- CD → -100+500=500-100=400
- XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
- CML → -100+1000+50=1000-100+50=950
Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.
Przykład:
- XXXII → 10+10+10+1+1=32
Ciekawostka
System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .
Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.
Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.
