Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez zero, dlatego należy "wyrzucić" z dziedziny te punkty, dla których mianownik się zeruje. 

 

Z kolei miejsce zerowe to argument (należący do dziedziny), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero. 

 

$a)$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji:

$x-7\ne 0\mid +7$

$x\ne 7$

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{7\right\}$

 

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji: 

$\frac{2x}{x-7}=0\mid \cdot \left(x-7\right)$

$2x=0\mid :2$

$x=0\in D$

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$b)$

$9+x\ne 0\mid -9$

$x\ne -9$

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-9\right\}$

 

 

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji:

$\frac{x+3}{9+x}=0\mid \cdot \left(9+x\right)$

$x+3=0\mid -3$

$x=-3\in D$

 

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$c)$

$5x-1\ne 0\mid +1$

$5x\ne 1\mid :5$

$x\ne \frac{1}{5}$

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{1}{5}\right\}$

 

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji:

$\frac{9x-9}{5x-1}=0\mid \cdot \left(5x-1\right)$

$9x-9=0\mid +9$

$9x=9\mid :9$

$x=1\in D$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$d)$

$9x+1\ne 0\mid -1$

$9x\ne -1\mid :9$

$x\ne -\frac{1}{9}$

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{1}{9}\right\}$

 

Wyznaczamy miejsce zerowe:

$\frac{1-3x}{9x+1}=0\mid \cdot \left(9x+1\right)$

$1-3x=0\mid -1$

$-3x=-1\mid :\left(-3\right)$

$x=\frac{1}{3}\in D$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

  $e)$  

$x+4\ne 0\mid -4$

$x\ne -4$

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-4\right\}$

 

Wyznaczamy miejsce zerowe:

$\frac{2x+8}{x+4}=0\mid \cdot \left(x+4\right)$

$2x+8=0\mid -8$

$2x=-8\mid :2$

$x=-4\notin D$

Otrzymane rozwiązanie nie należy do dziedziny co oznacza, że funkcja f(x) nie ma miejsc zerowych.

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$f)$

  $3x-6\ne 0\mid +6$   

$3x\ne 6\mid :3$

$x\ne 2$

 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$

 

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji: 

$\frac{2-x}{3x-6}=0\mid \cdot \left(3x-6\right)$

$2-x=0\mid +x$

$2=x$

$x=2\notin D$

Otrzymane rozwiązanie nie należy do dziedziny co oznacza, że funkcja f(x) nie ma miejsc zerowych.

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

$g)$

$x^2+1\ne 0\mid -1$

$x^2\ne -1$

Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna (podnosząc do kwadratu liczbę ujemną lub dodatnią dostajemy liczbę dodatnią, a podnosząc do kwadratu zero dostajemy zero), dlatego dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. 

 

$D=\mathbb{R}$

 

Wyznaczamy miejsce zerowe: 

$\frac{4x-1}{x^2+1}=0\mid \cdot \left(x^2+1\right)$

$4x-1=0\mid +1$

$4x=1\mid :4$

$x=\frac{1}{4}\in D$

 

$\underline{\underline{}}$

 

$h)$

$4+x^2\ne 0\mid -4$

$x^2\ne -4$

Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna (podnosząc do kwadratu liczbę ujemną lub dodatnią dostajemy liczbę dodatnią, a podnosząc do kwadratu zero dostajemy zero), dlatego dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. 

 

$D=\mathbb{R}$

 

$\frac{3x-4}{4+x^2}=0\mid \cdot \left(4+x^2\right)$

$3x-4=0\mid +4$

$3x=4\mid :3$

$x=\frac{4}{3}\in D$