Matematyka

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań 4.57 gwiazdek na podstawie 14 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie

4
 Zadanie

5
 Zadanie
6
 Zadanie
7
 Zadanie

`a)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(x-y=-5), (2x+y=-4):}\ \ \ \ \ |+`

`3x=-9\ \ \ |:3`

`x=-3`

 

Podstawiamy do drugiego równania: 

`2*(-3)+y=-4`

`-6+y=-4\ \ \ \ |+6`

`y=2`

 

`{(x=-3), (y=2):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

Przekszatłcamy równania prostych do postaci kierunkowej. 

`{(x-y=-5\ \ \ |-x), (2x+y=-4\ \ \ |-2x):}`

`{(-y=-x-5\ \ \ |*(-1)), (y=-2x-4):}`

`{(y=x+5), (y=-2x-4):}`

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które umożliwią narysowanie wykresu. 

`y=x+5`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+5=5`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-2+5=3`

 

 

`y=-2x-4`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0-4=0-4=-4`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-1)-4=2-4=-2`

 

 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia wykresów - jest to rozwiązanie układu równań. 

`{(x=-3), (y=2):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`b)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x-y=3\ \ \ |*(-3)), (x-3y=-15):}`

`{(-9x+3y=-9), (x-3y=-15):}\ \ \ \ |+`

`-8x=-24\ \ \ |:(-8)`

`x=3`

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu:

`3*3-y=3`

`9-y=3\ \ \ |-9`

`-y=-6\ \ \ |*(-1)`

`y=6`

 

`{(x=3), (y=6):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(3x-y=3\ \ \ |-3x), (x-3y=-15\ \ \ |-x):}`

`{(-y=-3x+3\ \ \ |*(-1)), (-3y=-x-15\ \ \ \|:(-3)):}`

`{(y=3x-3), (y=1/3x+5):}`

 

`y=3x-3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-3=0-3=-3`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3*2-3=6-3=3`

 

 

`y=1/3x+5`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*0+5=0+5=5`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3+5=1+5=6`

 

 

`{(x=3), (y=6):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`c)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x-2y=5), (x-y=3\ \ \ |*(-2)):}`

`{(3x-2y=5), (-2x+2y=-6):}\ \ \ \ |+`

`x=-1`

Podstawiamy do drugiego równania pierwszego układu: 

`-1-y=3\ \ \ |+1`

`-y=4\ \ \ |*(-1)`

`y=-4`

 

`{(x=-1), (y=-4):}`

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(3x-2y=5\ \ \ \|-3x), (x-y=3\ \ \ \|-x):}`

`{(-2y=-3x+5\ \ \ |:(-2)), (-y=-x+3\ \ \ |*(-1)):}`

`{(y=3/2x-5/2), (y=x-3):}`

 

`y=3/2x-5/2`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*1-5/2=3/2-5/2=-2/2=-1`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*3-5/2=9/2-5/2=4/2=2`

 

 

`y=x-3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-3=-3`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2-3=-1`

 

`{(x=-1), (y=-4):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`d)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x+4y=-19), (1/2x-y=-1.5\ \ \ |*4):}` 

`{(3x+4y=-19), (2x-4y=-6):}\ \ \ \ |+` 

`5x=-25\ \ \ |:5` 

`x=-5` 

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu: 

`3*(-5)+4y=-19` 

`-15+4y=-19\ \ \ |+15`  

`4y=-4\ \ \ |:4` 

`y=-1` 

`{(x=-5), (y=-1):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

 `{(3x+4y=-19\ \ \ \ |-3x), (1/2x-y=-1.5\ \ \ |-1/2x):}` 

`{(4y=-3x-19\ \ \ |:4), (-y=-1/2x-1.5\ \ \ |*(-1)):}`  

 

`{(y=-3/4x-19/4), (y=1/2x+1 1/2):}` 

 

`y=-3/4x-19/4` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-3/4*(-1)-19/4=3/4-19/4=-16/4=-4` 

`x=-5\ \ \ ->\ \ \ y=-3/4*(-5)-19/4=15/4-19/4=-4/4=-1` 

 

 

`y=1/2x+1 1/2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*1+1 1/2=1/2+1 1/2=2` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*3+1 1/2=3/2+1 1/2=1 1/2+1 1/2=3` 

 

 

`{(x=-5), (y=-1):}` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

`e)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(0.5y-0.125x=1.5\ \ \ \ |*(-8)), (1/4y-1/32x=1\ \ \ |*32):}`  

`{(-4y+x=-12), (8y-x=32):}\ \ \ \ |+` 

`4y=20\ \ \ \ |:4` 

`y=5` 

Podstawiamy do pierwszego równania ostatniego układu:

`-4*5+x=-12`  

`-20+x=-12\ \ \ |+20` 

`x=8` 

 

`{(x=8), (y=5):}` 

 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(0.5y-0.125x=1.5\ \ \ |+0.125x), (1/4y-1/32x=1\ \ \ |+1/32x):}` 

`{(0.5y=0.125x+1.5\ \ \ |*2), (1/4y=1/32x+1\ \ \ |*4):}` 

`{(y=0.25x+3), (y=1/8x+4):}` 

`{(y=1/4x+3), (y=1/8x+4):}` 

 

`y=1/4x+3` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=1/4*4+3=1+3=4` 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=1/4*(-4)+3=-1+3=2` 

 

 

`y=1/8x+4` 

`x=8\ \ \ ->\ \ \ y=1/8*8+4=1+4=5` 

`x=-8\ \ \ ->\ \ \ y=1/8*(-8)+4=-1+4=3` 

 

 

 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

 `f)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(2y-(3x-4)/2=0\ \ \ |*2), (y-1.5x=5\ \ \ |*2):}` 

 

`{(4y-(3x-4)=0), (2y-3x=10):}` 

`{(4y-3x+4=0\ \ \ |-4), (2y-3x=10\ \ \ |*(-2)):}` 

`{(4y-3x=-4), (-4y+6x=-20):}\ \ \ |+` 

`3x=-24\ \ \ |:3` 

`x=-8` 

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu:

`y-1.5*(-8)=5` 

`y+12=5\ \ \ |-12` 

`y=-7` 

 

`{(x=-8), (y=-7):}` 

 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(2y-(3x-4)/2=0\ \ \ |+(3x-4)/2), (y-1.5x=5 \ \ \ \ |+1.5x):}`  

`{(2y=(3x-4)/2\ \ \ |:2), (y=1.5x+5):}` 

`{(y=(3x-4)/4),(y=1 1/2x+5):}` 

`{(y=3/4x-1), (y=3/2x+5):}` 

 

`y=3/4x-1` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*0-1=0-1=-1` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*4-1=3-1=2` 

 

 

`y=3/2x+5` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0+5=0+5=5` 

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*(-2)+5=-3+5=2` 

 

 

`{(x=-8), (y=-7):}` 

 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

03-11-2017
Dzieki za pomoc!
user profile image
Gość

04-10-2017
Dziękuję!!!!
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Prostopadłościan

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian - 4 ściany boczne i 2 podstawy, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.
  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.
  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c. Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Prostopadłościan - długości

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem.Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat
Dodawanie pisemne

Krok po kroku jak wykonywać dodawanie pisemne:

  1. Składniki zapisujemy jeden pod drugim tak, by cyfry jedności tworzyły jedną kolumnę, cyfry dziesiątek – drugą, cyfry setek – trzecią, itd. (czyli cyfry liczb wyrównujemy do prawej strony), a następnie oddzielamy je poziomą kreską.

    dodawanie1
     
  2. Dodawanie prowadzimy od strony prawej do lewej. Najpierw dodajemy jedności, czyli ostatnie cyfry w dodawanych liczbach – w naszym przykładzie będzie to 9 i 3. Jeżeli uzyskana suma jest większa od 9, to w kolumnie jedności pod kreską piszemy cyfrę jedności tej sumy, a pozostałą cyfrę sumy przenosimy do kolumny dziesiątek.
    W naszym przykładzie mamy $$9 + 3 = 12$$, czyli w kolumnie jedności piszemy 2, a 1 przenosimy do kolumny dziesiątek.

    dodawanie2
     
  3. Następnie dodajemy dziesiątki naszych liczb wraz z cyfrą przeniesioną i postępujemy jak poprzednio, czyli jeśli uzyskana suma jest większa od 9, to w kolumnie dziesiątek piszemy cyfrę jedności tej sumy, a pozostałą cyfrę sumy przenosimy do kolumny setek.
    W naszym przykładzie otrzymamy: $$1 + 5 + 6 = 12$$, czyli w kolumnie dziesiątek piszemy 2, a 1 przenosimy do kolumny setek.

    dodawanie3
     
  4. Dodajemy cyfry setek wraz z cyfrą przeniesioną i wynik zapisujemy pod kreską.
    W naszym przykładzie mamy: $$1+2+1=4$$ i wynik ten wpisujemy pod cyframi setek.

    dodawanie4
     
  5. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy wynik dodawania pisemnego.
    W naszym przykładzie sumą liczb 259 i 163 jest liczba 422.

Zobacz także
Udostępnij zadanie