Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2015

Wyznacz równania prostych 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`A=(-2, \ -1)` 

`B=(3, \ -1)` 

`C=(4,\ 2)` 

`D=(-1,\ 2)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AB oraz CD zawierają się w prostych poziomych, (pary punktów A i B oraz C i D mają takie same drugie współrzędne).

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1) `  

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=2)`  

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i D w miejsce x i y):

`{(-1=a*(-2)+b), (2=a*(-1)+b):}` 

`{(-1=-2a+b), (2=-a+b):}\ \ \ \ \ |-` ``         odejmujemy równania stronami

`-3=-a\ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`a=3` 

 

Wstawiamy do drugiego równania:

`2=-a+b\ \ \ =>\ \ \ 2=-3+b\ \ \ =>\ \ \ b=2+3=5` 

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=3x+5)`  

 

Proste BC i AD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie: ``` ` 

`y=3x+c` 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC): 

`-1=3*3+c\ \ \ =>\ \ \ -1=9+c\ \ \ =>\ \ \ c=-1-9=-10 ` 

`ul(prosta \ BC:\ \ \ y =3x-10)`  

 

 

 

`b)` 

`A=(-2,\ 0)` 

`B=(2,\ -2)` 

`C=(2, \ 1)` 

`D=(-2,\ 3)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AD oraz BC zawierają się w prostych pionowych, (pary punktów A i D oraz B i C mają takie same pierwsze współrzędne).

`ul(prosta\ AD:\ \ \ x=-2)`  

`ul(prosta\ BC:\ \ \ x=2)`  

 


Teraz wyznaczymy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i B w miejsce x i y):

`{(-2=a*2+b), (0=a*(-2)+b):}` 

`{(-2=2a+b), (0=-2a+b):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=4a\ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`a=-1/2` 

 

Wstawiamy wyliczony współczynnik a do drugiego równania:

`0=-2a+b\ \ \ \ =>\ \ \ 0=-2*(-1/2)+b\ \ \ =>\ \ \ 0=1+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1/2x-1)` 

 

Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=-1/2x+c` 

 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`3=-1/2*(-2)+c\ \ \ =>\ \ \ 3=1+c\ \ \ =>\ \ \ c=3-1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=-1/2x+2)` 

 

 

 

`c)`  

`A=(-1,\ -1)` 

`B=(5,\ 1)` 

`C=(3,\ 3)` 

`D=(-3,\ 1)` 

 

Wyznaczamy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b), podstawiając współrzędne punktów A i B w miejsce x i y :

`{(-1=a*(-1)+b), (1=a*5+b):}` 

`{(-1=-a+b), (1=5a+b):}\ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=-6a\ \ \ \ \ |:(-6)`  

`a=(-2)/(-6)=1/3` 

 

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika a do pierwszego równania:

`-1=-a+b\ \ \ \=>\ \ \ -1=-1/3+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1+1/3=-2/3` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=1/3x-2/3)` 

 


Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=1/3x+c` 



Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`1=1/3*(-3)+c\ \ \ =>\ \ \ 1=-1+c\ \ \ =>\ \ \c=1+1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=1/3x+2)` 

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD podstawiając do równania y=dx+e współrzędne punktów A i D:

`{(-1=d*(-1)+e), (1=d*(-3)+e):}`   

`{(-1=-d+e), (1=-3d+e):}\ \ \ \ \ |-`  

`-2=2d\ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`d=-1`  

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika d do pierwszego równania: 

`-1=-d+e\ \ \ =>\ \ \ -1=1+e\ \ \ =>\ \ \ e=-1-1=-2`  

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=-x-2)`  

 


Proste AD i BC są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie:  

`y=-x+f` 


Współczynnik f obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC):

`1=-5+f\ \ \ =>\ \ \ f=1+5=6` 

`ul(prosta\ BC:\ \ \ y=-x+6)`