Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy (Podręcznik, Nowa Era)

Wyznacz równania prostych 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`A=(-2, \ -1)` 

`B=(3, \ -1)` 

`C=(4,\ 2)` 

`D=(-1,\ 2)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AB oraz CD zawierają się w prostych poziomych, (pary punktów A i B oraz C i D mają takie same drugie współrzędne).

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1) `  

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=2)`  

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i D w miejsce x i y):

`{(-1=a*(-2)+b), (2=a*(-1)+b):}` 

`{(-1=-2a+b), (2=-a+b):}\ \ \ \ \ |-` ``         odejmujemy równania stronami

`-3=-a\ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`a=3` 

 

Wstawiamy do drugiego równania:

`2=-a+b\ \ \ =>\ \ \ 2=-3+b\ \ \ =>\ \ \ b=2+3=5` 

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=3x+5)`  

 

Proste BC i AD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie: ``` ` 

`y=3x+c` 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC): 

`-1=3*3+c\ \ \ =>\ \ \ -1=9+c\ \ \ =>\ \ \ c=-1-9=-10 ` 

`ul(prosta \ BC:\ \ \ y =3x-10)`  

 

 

 

`b)` 

`A=(-2,\ 0)` 

`B=(2,\ -2)` 

`C=(2, \ 1)` 

`D=(-2,\ 3)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AD oraz BC zawierają się w prostych pionowych, (pary punktów A i D oraz B i C mają takie same pierwsze współrzędne).

`ul(prosta\ AD:\ \ \ x=-2)`  

`ul(prosta\ BC:\ \ \ x=2)`  

 


Teraz wyznaczymy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i B w miejsce x i y):

`{(-2=a*2+b), (0=a*(-2)+b):}` 

`{(-2=2a+b), (0=-2a+b):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=4a\ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`a=-1/2` 

 

Wstawiamy wyliczony współczynnik a do drugiego równania:

`0=-2a+b\ \ \ \ =>\ \ \ 0=-2*(-1/2)+b\ \ \ =>\ \ \ 0=1+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1/2x-1)` 

 

Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=-1/2x+c` 

 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`3=-1/2*(-2)+c\ \ \ =>\ \ \ 3=1+c\ \ \ =>\ \ \ c=3-1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=-1/2x+2)` 

 

 

 

`c)`  

`A=(-1,\ -1)` 

`B=(5,\ 1)` 

`C=(3,\ 3)` 

`D=(-3,\ 1)` 

 

Wyznaczamy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b), podstawiając współrzędne punktów A i B w miejsce x i y :

`{(-1=a*(-1)+b), (1=a*5+b):}` 

`{(-1=-a+b), (1=5a+b):}\ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=-6a\ \ \ \ \ |:(-6)`  

`a=(-2)/(-6)=1/3` 

 

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika a do pierwszego równania:

`-1=-a+b\ \ \ \=>\ \ \ -1=-1/3+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1+1/3=-2/3` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=1/3x-2/3)` 

 


Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=1/3x+c` 



Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`1=1/3*(-3)+c\ \ \ =>\ \ \ 1=-1+c\ \ \ =>\ \ \c=1+1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=1/3x+2)` 

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD podstawiając do równania y=dx+e współrzędne punktów A i D:

`{(-1=d*(-1)+e), (1=d*(-3)+e):}`   

`{(-1=-d+e), (1=-3d+e):}\ \ \ \ \ |-`  

`-2=2d\ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`d=-1`  

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika d do pierwszego równania: 

`-1=-d+e\ \ \ =>\ \ \ -1=1+e\ \ \ =>\ \ \ e=-1-1=-2`  

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=-x-2)`  

 


Proste AD i BC są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie:  

`y=-x+f` 


Współczynnik f obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC):

`1=-5+f\ \ \ =>\ \ \ f=1+5=6` 

`ul(prosta\ BC:\ \ \ y=-x+6)` 

 

 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi.

Sąsiednimi bokami nazywamy te boki, które mają wspólny wierzchołek. W prostokącie każde dwa sąsiednie boki są prostopadłe.

Przeciwległymi bokami nazywamy te boki, które nie mają punktów wspólnych. W prostokącie przeciwległe boki są równoległe oraz mają równą długość.

Odcinki, które łączą dwa przeciwległe wierzchołki (czyli wierzchołki nie należące do jednego boku) nazywamy przekątnymi. Przekątne prostokąta mają równe długości oraz przecinają się w punkcie, który jest środkiem każdej przekątnej, to znaczy punkt ten dzieli przekątne na połowy.

Wymiarami prostokąta nazywamy długości dwóch sąsiednich boków. Jeden bok nazywamy długością, a drugi szerokością prostokąta.
 

prostokat
Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.

Przykłady:

  • $$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,

  • $$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.

Zobacz także
Udostępnij zadanie