II gimnazjum

Policzmy to razem 2

Rozwiązanie 1

Pamiętaj, że środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.    α=22o   β=∣∠ACO∣ Miarę kąta ACO możemy obliczyć, korzystając z tego, że suma miar kątów w kazdym trójkącie wynosi 180° (dla trójkąta AOC) β=180o−22o−2⋅70o=

Policzmy najpierw pole trójkąta w "tradycyjny" sposób - jako połowę iloczynu długości przyprostokątnych PΔABC​=21​⋅15⋅20=15⋅10=150 [cm2]

Oznaczmy: x - długość ramienia (w cm) 120%x=1,2x - długość podstawy (w cm)   Najpierw obliczymy wysokość tego trójkąta, w zależności od x, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43614/F09XYU46kMsDd1KAeEtB2Q%3D%3D_7805a11ce5ec7cce2e6429583c46b8f65ea91dc89a9b9d4e875bebcb1aeebab2.jpg" width="380" height="240"> (0,6x)2+h2=x2   0,36x2+h2=x2   ∣−0,36x2   h2=0,64x2   h=0,64x2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.28em' viewBox='0 0 400000 1296' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119
c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120
c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
l0 -0
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11
H40000v40H1012.3
s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232
c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1
s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26
c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=0,8x

A. PRAWDA - punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrzbych trójkąta to środek okręgu wpisanego w trójkąt, ten punkt jest jednakowo odległy od każdego boku trójkąta, a ta odległość to promień okręgu

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43619/cz0qG4WbQU2GblVrNZ5pxw%3D%3D_4f97590069a9cb0f037ff7232d5de286bc1ea69f7f62a309c33aa9b7d8eac26e.jpg" width="484" height="185">   Przypomnijmy sobie, jakie długości boków ma trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22341/oYpmszt038tlbWOAz7Plg%3D%3D_032fc89220bce6c83d37bbabab70a48243742857de1e66e57d578c102bdbba6f.jpg"> Porównując długości boków leżących przy tych samych kątach możemy zapisać:  ∣AC∣=∣BC∣=2x=18 cm   ∣DC∣=x=18 cm:2=9 cm   ∣AD∣=∣DB∣=x3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=93<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ cm     Policzmy pole trójkąta ABC:  PΔABC​=21​⋅∣AB∣⋅∣DC∣=21​⋅(93<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​+93<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)⋅9=