Obliczmy pole i objętość jednego czworościanu foremnego o krawędzi 1 cm (czworościan foremny to bryła, która ma 4 ściany w kształcie trójkąta równobocznego)

$P=4\cdot \frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}c{m}^2$  

 

Chcemy obliczyć wysokość H czworościanu (z twierdzenia Pitagorasa)

$h=\frac{1\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}cm$  

$x=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}cm$  

$H^2+x^2=h^2$  

$H^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  

$H^2+\frac{3}{36}=\frac{3}{4}$  

$H^2+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$  

$H^2+\frac{1}{12}=\frac{9}{12}\mid -\frac{1}{12}$   

$H^2=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$  

$H=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}cm$    

 

 

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=$   $\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{36}=$   $\frac{\sqrt{18}}{36}=\frac{\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}}{36}=$   $\frac{3\sqrt{2}}{36}=\frac{\sqrt{2}}{12}c{m}^3$        

 

Numer piramidy	Z ilu czworościanów się składa	Pole piramidy	Objętość piramidy
$1$	$1=4^0$	$\sqrt{3}c{m}^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12}c{m}^3$
$2$	$4=4^1$	$4\cdot \sqrt{3}c{m}^2$	$4\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}c{m}^3$
$3$	$4\cdot 4=4^2$	$4^2\cdot \sqrt{3}c{m}^2$	$4^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}c{m}^3$
$4$	$4^2\cdot 4=4^3$	$4^3\cdot \sqrt{3}c{m}^2$	$4^3\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}c{m}^3$
$n$	$4^{n-1}$	$4^{n-1}\cdot \sqrt{3}c{m}^2$	$4^{n-1}\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}c{m}^3$