III gimnazjum

Matematyka 2001

Takie wielokąty to na przykład trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny, ośmiokąt foremny (wszystkie wielokąty foremne)

Rozwiązanie 1

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30542/xftkV%2B%2BtaWSrv6g6UAYlPw%3D%3D_8c56c7d482cbc57fd0d7a898b69a2f175b358cad84fcbb684b84550c3f0c9221.jpg"> Wysokość poprowadzona z punktu A padnie na bok BC.  Oznaczmy tą wysokość jako h i obliczmy pole na dwa sposoby: 21​⋅6⋅3=21​⋅4,5⋅h   ∣⋅2

W trójkącie prostokątnym dwie wysokości to jego przyprostokątne, a trzecia wyskość opuszczona jest na przeciwprostokątną.  Oznaczmy tą wysokość jako h i policzmy pole na 2 sposoby:  21​⋅9⋅12=21​⋅h⋅15   ∣⋅2

Obliczmy długość boku kwadratu:  48 cm:4=12 cm

Obliczamy długość boku kwadratu:  a=169 cm2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=13 cm

5x - długość krótszej podstawy 6x - długość dłuższej podstawy   (5x+6x)⋅2412⋅211​=792

Kwadrat jest także rombem (bo ma wszystkie boki równej długości), dlatego jego pole możemy obliczyć jako połowę iloczynu długości przekątnych. W kwadracie obie przekatne są równe, oznaczmy długość przekątnej jako e, wtedy:  21​⋅e⋅e=128   ∣⋅2

Pole trójkąta prostokątnego możemy obliczyć jako połowę iloczynu długości jego przyprostokątnych (jedną przyprostokątną traktujemy jako podstawę, a drugą jako wysokość).  W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątne są równej długości, jeśli oznaczymy długośc przyprostokątnej jako a, to wtedy mamy:  21​⋅a⋅a=150   ∣⋅2

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30543/J6qbllInvBnGcNk0XmJEzw%3D%3D_6c2c6eada13d788ac22c69ca3b860a366ffa812f89e5e587a4065d3bfe09c057.jpg"> Najpierw obliczmy długość krótszej podstawy - jeśli poprowadzilibyśmy z drugiego końca krótszej podstawy drugą wysokość, to można łatwo zauważyć, że:  a=20 cm−4 cm=16 cm      Wiemy, że obwód trapezu wynosi 56 cm, więc możemy obliczyc długość ramienia c: 4+20+c+16+c=56    40+2c=56   ∣−40     2c=16   ∣:2

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/30545/%2B0Xzzc3PtTE%2BUpxEexovlg%3D%3D_d3b607f43a0987b186a1668caa68f41373f260ec0326aab871060a3d0828c57f.jpg"> P∘​=   π⋅r2=π⋅(21​a)2=