Matematyka

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania i sprawdź poprawność rozwiązania 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania i sprawdź poprawność rozwiązania

1
 Zadanie
2
 Zadanie

3
 Zadanie

4
 Zadanie
5
 Zadanie
6
 Zadanie

`a)\ {(3x+2y=19), (5x-y=10):}`

Wyznaczamy y z drugiego równania: 

`5x-y=10\ \ \ |+y`

`5x=10+y\ \ \ |-10`

`y=5x-10`

 

Wstawiamy wyliczonego y do pierwszego równania: 

`3x+2(5x-10)=19`

`3x+10x-20=19`

`13x-20=19\ \ \ |+20`

`13x=39\ \ \ |:13`

`x=3`

`y=5*3-10=15-10=5`

 

`{(x=3), (y=5):}`

 

Sprawdzamy: 

`{(3*3+2*5=9+10=19), (5*3-5=15-5=10):}`

 

 

`b)\ {(3x-y=7), (2x+3y=1):}`

Wyznaczamy y z pierwszego równania:

`3x-y=7\ \ \ |+y`

`3x=7+y\ \ \ |-7`

`y=3x-7`

 

Wstawiamy wyliczonego y do drugiego równania: 

`2x+3(3x-7)=1`

`2x+9x-21=1`

`11x-21=1\ \ \ |+21`

`11x=22\ \ \ |:11`

`{(x=2), (y=3*2-7=6-7=-1):}`

 

Sprawdzamy: 

`{(3*2-(-1)=6+1=7),(2*2+3*(-1)=4-3=1):}`

 

 

`c)\ {(0.4x+y=6), (x+0.75y=8):}`

Wyliczamy y z pierwszego równania: 

`0,4x+y=6\ \ \ |-0,4x`

`y=6-0,4x`

Wstawiamy wyliczonego y do drugiego równania: 

`x+0,75(6-0,4x)=8`

`x+3/4(6-0,4x)=8`

`x+18/4-(1,2)/4x=8`

`x+9/2-0,3x=8`

`0,7x+4 1/2=8\ \ \ |-4 1/2`

`0,7x=3 1/2`

`0,7x=3,5\ \ \ |:0,7`

`{(x=5), (y=6-0.4*5=6-2=4):}`

Sprawdzamy:

`{(0.4*5+4=2+4=6), (5+0.75*4=5+3=8):}`

 

 

`d)\ {(2x=1-3y), (1/2x=2-y):}`

Wyznaczamy x z drugiego równania:

`1/2x=2-y\ \ \ |*2`

`x=4-2y`

Wstawiamy wyliczonego x do pierwszego równania: 

 `2(4-2y)=1-3y`   

`8-4y=1-3y\ \ \ |+4y`

`8=1+y\ \ \ |-1`

`{(y=7), (x=4-2*7=4-14=-10):}`

Sprawdzamy:

`{(2*(-10)=-20=1-3*7=1-21), (1/2*(-10)=-5=2-7):}`

 

 

`e)\ {(x-y-3=0), (2x+3y-11=0):}`

Wyznaczamy x z pierwszego równania:

`x-y-3=0\ \ \ |+y+3`

`x=y+3`

Wstawiamy wyliczonego x do drugiego równania:

`2(y+3)+3y-11=0`

`2y+6+3y-11=0`

`5y-5=0\ \ \ \ |+5`

`5y=5\ \ \ \ |:5`

`{(y=1), (x=1+3=4):}`

 

Sprawdzamy:

`{(4-1-3=0),(2*4+3*1-11=8+3-11=0):}`

 

 

 

`f)\ {(-3(x+2)+2(x+y)=2), (2(y+2)+3(x-y)=2x-1):}`

`{(-3x-6+2x+2y=2), (2y+4+3x-3y=2x-1):}`

`{(-x+2y-6=2\ \ \ |+6), (-y+4+3x=2x-1\ \ \ |-3x+1):}`

`{(-x+2y=8), (-y+5=-x):}`

Wyznaczamy x z drugiego równania:

`-x=-y+5\ \ \ |*(-1)`

`x=y-5`

Wstawiamy wyliczonego x do pierwszego równania:

`-y+5+2y=8`

`y+5=8\ \ \ |-5`

`{(y=3), (x=3-5=-2):}`

 

Sprawdzamy:

`{(-3*(-2+2)+2(-2+3)=-3*0+2*1=2), (2(3+2)+3(-2-3)=2*5+3*(-5)=-5=2*(-2)-1):}`

    

 

   

 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka 2001
Autorzy: Praca zbiorowa
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

Ułamki dziesiętne i ich budowa
Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysięczne itd.

Przykład:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$ -> łatwo zauważyć, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Zobacz także
Udostępnij zadanie