II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

1. Prowadzimy promienie OD oraz OB, zaznaczając kąty proste ADO oraz ABO. 2. Kąt wpisany DCB jest oparty na tym samym łuku, co kat środkowy DOB (kąt wypukły), więc ∣∠DOB∣=2α , kąt wklęsły DOB ma natomiast miarę ∣∠DOB∣=360∘−2α . 3. Suma miar kątów w czworokącie wynosi 360∘ , więc dla czworokąta ABOD można zapisać: β+90∘+2α+90∘=360∘

Rozwiązanie 1

Dzielimy kwadrat na połowę poziomą kreską - każdy z dwóch "ślimaków" został podzielony na połowę koła o promieniu 1, połowę koła o promieniu 2, oraz 41​

Po podzieleniu figury na mniejsze figury do obliczenia obwodów wystarczy obliczenie długości poszczególnych odcinków oraz łuków. Zaczynamy od łuku będącego połową okręgu o promieniu x, poruszamy się lewą stroną  figury, aż wrócimy do punktu wyjścia.    21​⋅2π⋅x+21​⋅2π⋅2x+23​x+2x+21​⋅2π⋅2x+21​⋅2π⋅x+2x+41​⋅2π⋅2x+23​x=

Każdą z białych figur dzielimy pionową osią symetrii na pół - otrzymujemy 4 przystające figury.  Obliczamy pole jednej z nich (od pola 1/4 koła o promieniu x odejmujemy pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o długości ramienia x): 41​⋅π⋅x2−21​⋅x⋅x=41​πx2−21​x2=4πx2−2x2​

Suma miar kątów wewnętrznych w n-kącie foremnym wyraża się wzorem (n−2)⋅180∘ , więc: (n−2)⋅180∘=1080∘