Complete the text (...) - Zadanie 6: Matura Focus 3. Workbook - strona 49
Język angielski
Matura Focus 3. Workbook (Zeszyt ćwiczeń, Pearson Education)
Complete the text (...) 4.84 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 3 Klasa
  3. Język angielski

1 B

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy I liceum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Daniel Brayshaw, Bartosz Michałowski
Wydawnictwo: Pearson Education
Rok wydania:
ISBN: 9788376008493
Autor rozwiązania
user profile

Kasia

7375

Korepetytor

Wiedza
Współrzędne wektora
Mając dane współrzędne końców wektora możemy wyznaczyć jego współrzędne: opisują one po prostu koniec wektora przy założeniu, że jego początek jest zaczepiony w punkcie $(0,0)$.

Jeśli początek leży w punkcie $A = (x_p,y_p)$, a koniec to punkt $B = (x_k, y_k)$, to współrzędne wektora wyznacza wzór:

${AB}↖{→} = [x_p-x_k, y_p-y_k]$
 
Rozwiązywanie równań i nierówności
Jako że poznaliśmy już wszystkie potrzebne wzory, możemy zająć się pracą nad zadaniami. Ten rozdział nie będzie zawierał już żadnej nowej teorii, a jedynie pokazywał sposoby, jakich można użyć przy rozwiązywaniu zadań.

Zacznijmy od podstawowego przykładu:

$sin 2x = {1}/{2}$

Widząc coś takiego pierwsze, co powinno nam przyjść do głowy, to zastanowienie się kątami, dla których $sin a = {1}/{2}$. Zadanie jest wręcz podstawowe: oczywiście dzieje się tak dla kątów $a = {∏}/{6} + k×2 ∏$, $a = {5∏}/{6}+k×2∏$ (przypomnienie: ponieważ $2∏$ to okres sinusa, rozwiązania powtarzają się właśnie co $2 ∏$).

Skoro w argumencie mamy $a = 2x$, to podstawiając do naszych rozwiązań $2x$ otrzymujemy:

$2x = {∏}/{6} + k×2∏$
$x = {∏}/{12} + k×∏$

oraz

$2x = {5∏}/{6} + k×2∏$
$x = {5∏}/{12} + k×∏$

Co kończy zadanie.

Oczywiście jeśli zamiast sinusa byłby cosinus albo zamiast $2x$ występowałoby $5x$ rozwiązanie wyglądałoby tak samo.

Przejdźmy do bardziej zaawansowanych przykładów.

Weźmy na przykład $sin x + cos x = 1$.
Rozwiązanie wygląda dość prosto:

1) Najpierw podnosimy obie strony do kwadratu:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = 1$

2) Później zamieniamy prawą stronę z jedynki trygonometrycznej:
$sin^{2}x + 2×sin x cos x + cos^{2}x = sin^{2}x + cos^{2}x$

3) Skracamy:
$sin x cos x = 0$

4) Mamy iloczyn dwóch składników przyrównany do zera. Musi być więc tak, że albo
  • a) $sin x = 0$
    i wtedy $x = k×∏$.
     
  • b) $cosx = 0$
    i wtedy $x = {∏}/{2} + k×∏$.

Jak można było wpaść na to, że rozwiązanie będzie przebiegało właśnie w ten sposób? Po pierwsze, widzimy jedynkę i sumę $sin$ i $cos$, więc przypomina się nam wzór na jedynkę trygonometryczną. Potem uświadamiamy sobie, że potrzebujemy sumy kwadratów, podnosimy więc obie strony do kwadratu. Później już samo idzie :).

Inny przykład: tym razez trzeba udowodnić tożsamość
$cos^4x - sin^4x = cos2x$

1) Najpierw rozłóżmy prawą stronę, żeby w równaniu występowały jedynie funkcje "proste" - $sin x$ i $cos x$.
$cos^4x - sin^4x = cos^2x - sin^2x$

2) Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia i rozłóżmy lewą stronę
$(cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

3) Widać, że po lewej stronie pojawiła się suma kwadratów sinusa i cosinusa, więc zamieniając ją na jedynkę otrzymujemy rozwiążanie:
$1×(cos^2x - sin^2x) = cos^2x - sin^2x$

Kolejny przykład będzie wymagał skorzystania z bardziej zaawansowanego wzoru. Należy udowodnić następującą tożsamość:

$4sin x sin ({∏}/{3} + x)({∏}/{3} - x) = sin(3x)$

1) Zacznijmy od rozłożenia sinusa sumy i różnicy kątów
$4sin x(sin {∏}/{3}  cos x + sin x cos {∏}/{3} )(sin{∏}/{3} cos x - sin x cos{∏}/{3}) = sin(3x)$

2) Teraz wymnóżmy nawiasy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
$4sin x {(sin{∏}/{3}cos x)}^2 - {(sin x cos{∏}/{3})}^2 = sin(3x)$

3) Oczywiście $sin {∏}/{3} = {√{3} }/{2}$ i $cos {∏}/{3} = {1}/{2}$.
Wstawiając te liczby do równania i podnosząc je do kwadratu dostajemy:
$4sin x ({3}/{4} {(cos x)}^2 - {1}/{4}{(sin x)}^2) = sin(3x)$

4) Teraz możemy wymnożyć lewą stronę oraz zamienić $sin (3x)$ na $sin (2x+x)$
$3sin x(cos x)^2 - {(sinx)}^3 = sin(2x + x)$

5) Zamieniając prawą stronę na iloczyn ze wzoru na $sin(α + β)$ otrzymujemy równanie
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = sin(2x) cos x + sin x cos(2x)$

6) Ostatni krok to pononwne skorzystanie ze wzoru na $sin (2x)$ i $cos (2x)$
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 2sin x(cos x)^2 + sin x(cos x^2 - sin x^2)$

Co po prostym wymnożeniu jest równe:
$3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3 = 3sin x(cos x)^2 - (sin x)^3$

Ten przykład wymagał już dość dobrej znajomości wzorów, ale trudność mogła pojawić się w miejscu, gdzie trzeba było rozbić $3x$ na $2x + x$. Skąd było wiadomo, że należy to zrobić? Nie ma prostej odpowiedzi. Równania trygonometryczne wymagają po prostu oswojenia się z nimi i praktyki - po kilkunastu zrobionych przykładach po prostu zaczyna się zauważać takie rzeczy. Nie pozostaje zatem nic innego, jak po prostu ćwiczyć.
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom