TREŚĆ:

Zadanie 3.

Jednorodną sztywną płytę $\mathcal{P}$ umieszczono na dwóch równoległych do siebie osiach z kołami.
Przyjmij następujące dane oraz oznaczenia:

• siłę ciężkości działającą na płytę oznaczymy jako $\overrightarrow{Q_P}$
• osie oznaczymy jako $O_1$ oraz $O_2$
• koła umieszczone na końcach każdej osi są jednakowe
• środek masy płyty oznaczymy jako $S$
• osie $O_1$ oraz $O_2$ działają na płytę – odpowiednio – siłami reakcji $\overrightarrow{F_1}$ oraz $\overrightarrow{F_2}$
• krawędzie płyty oznaczymy jako $A$ i $B$, odległości wzajemne między krawędziami płyty a osiami są następujące:

$|A{O}_1|=2\text{m}$    $|O_1{O}_2|=4\text{m}$    $|O_{2}B|=3\text{m}$

• układ rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Sytuacje ilustruje rysunek 1.

Zadanie 3.1.

Rozważamy sytuację 1., gdy na płycie nie ma żadnego obciążenia (jak na rysunku 1.).

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Między wartościami $F_1$, $F_2$, $Q_P$ sił działających na płytę w sytuacji 1 zachodzą relacje

A.	$F_2>F_1$	oraz	1.	$F_1+F_2=Q_P$
			2.	$F_1+Q_P=F_2$
B.	$F_2<F_1$
			3.	$Q_P+F_2=F_1$

---

ROZWIĄZANIE:

 Uzasadnienie: 

Naszym celem jest poprawne dokończenie zdania. Aby wyznaczyć siłę działająca na osie musimy najpierw skorzystać z faktu, że siły działające na ciało muszą się równoważyć. Siłami działającymi na to ciało są siły reakcji osi skierowane w górę oraz siła ciężkości skierowana w dół. Siły reakcji się sumują, ponieważ mają ten sam zwrot i muszą równoważyć siłę ciężkości o przeciwnym do nich zwrocie. W związku z tym możemy zapisać:

$F_1+F_2=Q_P$

gdzie:

$F_1$ - wartość siły działającej na oś $O_1$,

$F_2$ - wartość siły działającej na oś $O_2$,

$Q_P$ - wartość siły ciężkości działającej na płytę.

Wiemy, że środek ciężkości jest położony w połowie długości płytki, ponieważ jest ona jednorodna. Długość płytki wynosi:

$l=\left|A{O}_1\right|+\left|O_1{O}_2\right|+\left|O_{2}B\right|$

gdzie:

$l$ - długość płytki,

$\left|A{O}_1\right|$ - odległość od końca płyty A do pierwszej osi,

$|O_1{O}_2|$ - odległość między osiami,

$\left|O_{2}B\right|$ - odległość drugiej osi od końca płyty B.

Jak mówiliśmy, środek ciężkości będzie znajdował się w połowie długości, zatem możemy zapisać:

$S=\frac{l}{2}$

$S=\frac{\left|A{O}_1\right|+\left|O_1{O}_2\right|+\left|O_{2}B\right|}{2}$

gdzie:

$S$ - położenie środka ciężkości.

Podstawiając wartości dostajemy:

$S=\frac{2\text{m}+4\text{m}+3\text{m}}{2}=4,5\text{m}$

Wiemy, że płyta pozostaje w spoczynku, zatem momenty sił działających na nią muszą się równoważyć – niezależnie od wyboru osi obrotu. Najpierw jako oś obrotu przyjmijmy oś $O_1$. Wówczas na płytę działają dwa momenty siły: moment związany z siłą ciężkości działającą na płytę i przyłożoną w jej środku ciężkości oraz moment związany z siłą reakcji osi $O_2$. Te siły są przyłożone po tej samej stronie osi $O_1$⁣, ale mają przeciwne zwroty, więc również momenty siły mają przeciwne zwroty i będą się równoważyć. W związku z tym możemy zapisać:

$M_1=M_{Q2}$

gdzie:

$M_1$ - wartość momentu siły związana z reakcją osi $O_1$,

$M_{Q2}$ - wartość momentu siły związana z siłą ciężkości dla osi obrotu $O_2$.

Wszystkie siły są prostopadłe do ramienia zatem ich wartości możemy obliczyć korzystając z zależności:

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem: $M=rF$ gdzie: $M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej, $F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną, $r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Korzystając z powyższego, wcześniejsze równanie momentów sił możemy zapisać w postaci:

$\left|O_1{O}_2\right|F_1=\left|S{O}_2\right|Q_P$

gdzie:

$\left|S{O}_2\right|$ - odległość między środkiem ciężkości a drugą osią 

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na wartość siły działającej na oś $O_1$:

$\left|O_1{O}_2\right|F_1=\left|S{O}_2\right|Q_P|:\left|O_1{O}_2\right|$

$F_1=\frac{\left|S{O}_2\right|}{\left|O_1{O}_2\right|}{Q}_P$

Odległość pomiędzy drugą osią a środkiem ciężkości możemy obliczyć z zależności:

$\left|S{O}_2\right|=S-\left|O_{2}B\right|$

Podstawiamy to do otrzymanego przez nas wzoru na siłę:

$F_1=\frac{S-\left|O_{2}B\right|}{\left|O_1{O}_2\right|}{Q}_P$

Podstawiamy odległości i dostajemy:

$F_1=\frac{4,5\text{m}-3\text{m}}{4\text{m}}{Q}_P=\frac{1,5\cancel{\text{m}}}{4\cancel{\text{m}}}{Q}_P=$

$=0,375Q_P$

Postępujemy analogicznie przyjmując oś obrotu jako $O_1$. Wówczas rozważamy moment siły związany z siłą ciężkości przyłożoną w środku masy oraz siła reakcji osi $O_2$. W związku z tym możemy zapisać:

$M_2=M_{Q1}$

gdzie:

$M_2$ - wartość momentu siły reakcji osi $O_2$,

$M_{Q1}$ - wartość momentu siły związana z siłą ciężkości dla osi obrotu $O_1$.

Korzystając ze wzoru na moment siły możemy zapisać:

$\left|O_1{O}_2\right|F_2=\left|S{O}_1\right|Q_P$

gdzie:

$\left|S{O}_1\right|$ - odległość między środkiem ciężkości a osią $O_1$.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na wartość siły reakcji drugiej osi:

$\left|O_1{O}_2\right|F_2=\left|S{O}_1\right|Q_P|:\left|O_1{O}_2\right|$

$F_2=\frac{\left|S{O}_1\right|}{\left|O_1{O}_2\right|}{Q}_P$

Odległość środka ciężkości od pierwszej osi możemy obliczyć z zależności:

$\left|S{O}_1\right|=S-\left|A{O}_1\right|$

Podstawiamy to do wzoru na siłę reakcji drugiej osi i dostajemy:

$F_2=\frac{S-\left|A{O}_1\right|}{\left|O_1{O}_2\right|}{Q}_P$

Podstawiając odległości dostajemy:

$F_2=\frac{4,5\text{m}-2\text{m}}{4\text{m}}{Q}_P=\frac{2,5\cancel{\text{m}}}{4\cancel{\text{m}}}{Q}_P=$

$=0,625Q_P$

Jak widzimy $F_2>F_1$.

 Odpowiedź: 

... A. $F_2>F_1$ oraz 1. $F_1+F_2=Q_P$