Kula K1 o masie... Oblicz iloraz...- Zadanie 2.2.: Egzamin maturalny Fizyka. Poziom rozszerzony. Styczeń 2026. Arkusz próbny

Rozwiązanie

TREŚĆ:

Zadanie 2.

Kula K1 o masie $m_{1}$ porusza się z prędkością $v_{1}$ , a kula K2 o masie $m_{2}$ spoczywa. Wektor $v_{1}$ jest skierowany w stronę środka kuli K2. Sytuację ilustruje rysunek 1.

W pewnej chwili kula K1 uderzyła w kulę K2. W wyniku tego obie kule uzyskały prędkości o przeciwnych zwrotach i o tych samych wartościach. Sytuację ilustruje rysunek 2.

Przyjmujemy model zjawiska, w którym:

opisany ruch kul odbywa się w inercjalnym układzie odniesienia
przed zderzeniem i po zderzeniu kule poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym
zderzenie kul jest idealnie sprężyste
kule oddziałują ze sobą tylko podczas zderzenia
kule się nie obracają.

Zadanie 2.2.

Oblicz iloraz $\frac{m _{2}}{m _{1}}$ mas tych kul. Zapisz obliczenia. W rozwiązaniu zapisz równania wynikające z zasady zachowania odpowiednich wielkości.

ROZWIĄZANIE:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ilorazu mas kul:

$\frac{m _{2}}{m _{1}} = ?$

gdzie:

$m_{1}$ - masa pierwszej kuli K1,

$m_{2}$ - masa drugiej kuli K2.

Zasada zachowania energii

Zderzenie jest idealnie sprężyste, dlatego energia jest zachowana. Ponieważ w układzie mamy kulki poruszające się w pewnej płaszczyźnie to rozważamy wyłącznie ich energię kinetyczną.

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU POSTĘPOWEGO

$E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}$

gdzie:

$E_{k}$ - energia kinetyczna ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Początkowo pierwsza kula będzie miała energię kinetyczną w postaci:

$E_{k .1.1} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}$

gdzie:

$E_{k .1.1}$ - energia kinetyczna pierwszej kuli przed zderzeniem,

$m_{1}$ - masa pierwszej kuli,

$v_{1}$ - szybkość pierwszej kuli przed zderzeniem.

Druga kula na początku spoczywała, czyli jej początkowa energia kinetyczna jest zerowa:

$E_{k .2.1} = 0$

gdzie:

$E_{k .2.1}$ - energia kinetyczna drugiej kuli przed zderzeniem.

Energia kinetyczna pierwszej kulki po zderzeniu ma postać:

$E_{k .1.2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{2}^{2}$

gdzie:

$E_{k .1.2}$ - energia kinetyczna pierwszej kulki po zderzeniu,

$v_{2}$ - wartość prędkości pierwszej kulki po zderzeniu.

Po zderzeniu obie kulki poruszały się z prędkościami o takich samych wartościach, ale przeciwnych zwrotach. Oznacza to, że energia kinetyczna drugiej kulki po zderzeniu ma postać:

$E_{k .2.2} = \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$

gdzie:

$E_{k .2.2}$ - energia kinetyczna drugiej kulki po zderzeniu.

Z zasady dachowania energii kinetycznej otrzymamy wówczas równanie:

$E_{k .1.1} + E_{k .2.1} = E_{k .1.2} + E_{k .2.2}$

$\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + 0 = \frac{1}{2} m_{1} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} ∣ \cdot 2$

$m_{1} v_{1}^{2} = m_{1} v_{2}^{2} + m_{2} v_{2}^{2}$

Zasada zachowania pędu

Każda z kulek będzie posiadała pęd.

PĘD

$p = m v$

gdzie:

$p$ - pęd ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - prędkość ciała.

Pęd, skoro jest wielkością wektorową, to będzie również uwzględniał kierunek ruchu ciała. Przy założeniu, że oś układu odniesienia skierowana jest zgodnie z prędkością $v_{1}$ to pęd pierwszej kulki przed zderzeniem ma wartość:

$p_{1.1} = m_{1} v_{1}$

gdzie:

$p_{1.1}$ - wartość pędu pierwszej kuli przed zderzeniem.

Skoro druga kula była początkowo nieruchoma to jej pęd jest zerowy:

$p_{2.1} = 0$

gdzie:

$p_{2.1}$ - wartość pędu drugiej kuli.

Po zderzeniu zmieniła się wartość i zwrot prędkości pierwszej kuli. Dlatego:

$p_{1.2} = - m_{1} v_{2}$

gdzie:

$p_{1.2}$ - wartość pędu pierwszej kuli po zderzeniu.

Druga kula uzyskała prędkość o takiej samej wartości jak pierwsza kula, ale przeciwnym zwrocie. Natomiast zwrot prędkości tej kuli jest zgodny z kierunkiem osi układu. Stąd:

$p_{2.2} = m_{2} v_{2}$

gdzie:

$p_{2.2}$ - pęd drugiej kuliki po zderzeniu.

Z zasady zachowania pędu otrzymamy równanie:

$p_{1.1} + p_{2.1} = p_{1.2} + p_{2.2}$

$m_{1} v_{1} + 0 = - m_{1} v_{2} + m_{2} v_{2}$

$m_{1} v_{1} = - m_{1} v_{2} + m_{2} v_{2}$

Układ równań

Mamy dwa równania wynikające z zasad zachowania. Chcemy wyznaczyć iloraz mas tych kul. Zacznijmy od przedstawienia wartości prędkości pierwszej kuli przed zderzeniem za pomocą wartości prędkości kul po zderzeniu. Mamy wówczas układ równań:

${m_{1} v_{1}^{2} = m_{1} v_{2}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} m_{1} v_{1} = - m_{1} v_{2} + m_{2} v_{2}$

${m_{1} v_{1}^{2} = m_{1} v_{2}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} - m_{1} v_{2}^{2} m_{1} v_{1} = - m_{1} v_{2} + m_{2} v_{2} ∣ + m_{1} v_{2}$

${m_{1} v_{1}^{2} - m_{1} v_{2}^{2} = m_{2} v_{2}^{2} m_{1} v_{1} + m_{1} v_{2} = m_{2} v_{2}$

${m_{1} (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = m_{2} v_{2}^{2} m_{1} (v_{1} + v_{2}) = m_{2} v_{2}$

$\frac{: { m _{1} ( v _{1} - v _{2} ) ( v _{1} + v _{2} ) = m _{2} v _{2}^{2} m _{1} ( v _{1} + v _{2} ) = m _{2} v _{2}}{\frac{m _{1} ( v _{1} - v _{2} ) ( v _{1} + v _{2} )}{m _{1} ( v _{1} + v _{2} )} = \frac{m _{2} v _{2}^{2}}{m _{2} v _{2}}}$