Oblicz, jaką odległość pokonają sanki w chwili...- Zadanie 6.1.: Fizyka 1. Karty pracy ucznia. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$α = 1 5^{\circ}$

$h = 2, 0 m$

$f = 0, 1$

Szukane:

$s_{2} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie odległości, jaką pokonają sanki od chwili rozpoczęcia zjazdu z górki na wysokości $h$ do chwili całkowitego zatrzymania oraz narysowanie wektorów sił, które działają na sanki. W pierwszej kolejności uzupełniamy rysunek pomocniczy o oznaczenia niektórych wielkości.

gdzie:

$h$ - wysokość, z jakiej zjeżdżają sanki,

$s_{1}$ - droga, jaką przebywają sanki podczas zjazdu ze zbocza,

$s_{2}$ - droga, jaką przebywają sanki od chwili zjazdu ze zbocza do zatrzymania.

Widzimy więc, że powinniśmy rozważyć dwa etapy ruchu:

Sanki zjeżdżają ze zbocza,
Sanki poruszają się po płaskim podłożu.

W pierwszej kolejności rozważymy siły, które działają na sanki podczas zjazdu ze zbocza.

Siły działające na sanki na zboczu

Na sanki działa siła ciężkości $F_{c}$ zwrócona pionowo w dół. Siłę tę możemy rozłożyć na dwie składowe:

$F_{∥}$ - składowa równoległa do powierzchni zbocza,
$F_{⊥}$ - składowa prostopadła do powierzchni zbocza.

Rysujemy wektory tych sił na rysunku pomocniczym.

Sanki działają na zbocze z siłą nacisku $F_{N}$ , której wartość jest równa wartości siły $F_{⊥}$ :

$F_{N} = F_{⊥}$

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona wiemy, że jeżeli ciało A działa na ciało B, to ciało B działa na ciało A z siłą o tej samej wartości, tym samym kierunku, ale przeciwnym zwrocie i innym punkcie przyłożenia. Jeżeli więc sanki działają na zbocze, to zbocze oddziałuje na sanki. Siłą tą jest siła reakcji (sprężystości) podłoża $F_{R}$ , której wartość jest równa wartości siły nacisku $F_{N}$ :

$F_{R} = F_{N}$

Wówczas:

$F_{R} = F_{⊥}$

Rysujemy na rysunku pomocniczym wektor siły $F_{R}$ o takiej samej długości jak wektor $F_{⊥}$ , ale przeciwnym zwrocie.

Zgodnie z treścią zadania mamy przyjąć, że cała trasa jest pokryta śniegiem, a współczynnik tarcia sanek o podłoże wynosi $f$ . Oznacza to, że musimy uwzględnić dodatkowo siłę tarcia $T$ , która działa na sanki w każdym z etapów ruchu. Zwróćmy uwagę, że siła tarcia jest zawsze zwrócona przeciwnie do kierunku poruszania się ciała, zatem w rozważanym etapie ruchu wektor siły tarcia $T_{1}$ jest zwrócony w górę zbocza.

WARTOŚĆ SIŁY TARCIA

Siła tarcia działa na ciało będące w ruchu, zwrócona jest przeciwnie do wektora prędkości, a jej wartość możemy wyrazić wzorem:

$T = f F_{N}$

gdzie:

$T$ - wartość siły tarcia,

$f$ - współczynnik tarcia,

$F_{N}$ - wartość siły nacisku ciała na podłoże.

Zapiszemy więc:

$T_{1} = f F_{N}$

$T_{1} = f F_{⊥}$

Rysujemy wektor siły tarcia, który działa na sanki podczas zjazdu ze zbocza, na rysunku pomocniczym.

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Korzystając z rysunku oraz z funkcji trygonometrycznych, zapiszemy, że:

$\frac{F _{⊥}}{F _{c}} = cos α ∣ \cdot F_{c}$

$F_{⊥} = F_{c} cos α$

Podstawiamy wzór na wartość siły ciężkości:

$F_{⊥} = m g cos α$

Wówczas:

$T_{1} = f m g cos α$

Teraz przejdziemy do rozważenia sił, które działają na sanki podczas poruszania się po płaskim podłożu.

Siły działające na sanki na płaskim podłożu

Na sanki działa siła ciężkości $F_{c}$ skierowana pionowo w dół. Jednocześnie sanki naciskają na podłoże, zatem sanki działają na podłoże z siłą nacisku $F_{N}$ . Wartość tej siły, w przypadku płaskiego podłoża, jest równa wartości siły ciężkości:

$F_{N} = F_{c}$

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, podłoże oddziałuje na sanki z siłą reakcji podłoża $F_{R}$ o wartości równej wartości siły nacisku $F_{N}$ :

$F_{R} = F_{N}$

Wówczas:

$F_{R} = F_{c}$

Dodatkowo tak jak w pierwszym etapie, uwzględniamy siłę tarcia $T_{2}$ , która jest skierowana przeciwnie do zwrotu prędkości sanek, czyli na rysunku siła ta będzie zwrócona poziomo w prawo. Dla ułatwienia kolejnych rozważań możemy dodatkowo narysować wektory sił $F_{c}$ , $F_{R}$ i $T_{2}$ na rysunku pomocniczym, które działają na sanki podczas poruszania się po płaskim podłożu.

Wartość siły tarcia opisuje wzór:

$T_{2} = f F_{N}$

$T_{2} = f F_{c}$

$T_{2} = f m g$

Teraz rozważmy energię mechaniczną sanek w poszczególnych etapach ruchu.

Energia mechaniczna sanek

W rozważanym przez nas przypadku energia mechaniczna ciała jest równa sumie energii potencjalnej ciężkości oraz energii kinetycznej:

$E_{m} = E_{k} + E_{p}$

gdzie:

$E_{m}$ - energia mechaniczna sanek,

$E_{k}$ - energia kinetyczna sanek,

$E_{p}$ - energia potencjalna sanek.

Przyjmujemy, że energia potencjalna sanek na poziomie podłoża jest równa zero. Zaznaczmy na rysunku trzy interesujące nas położenia sanek, w których będziemy rozważać energię mechaniczną, odpowiednio $A$ , $B$ oraz $C$ .

Sanki znajdujące się w punkcie $A$ nie poruszają się, zatem energia kinetyczna jest równa zero, natomiast energia potencjalna nie jest zerowa. Wówczas energia mechaniczna sanek jest równa energii potencjalnej sanek na wysokości $h$ .

$E_{m . A} = E_{p . h}$

ENERGIA POTENCJALNA PRZY POWIERZCHNI ZIEMI

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{p} = m g h$

gdzie:

$E_{p}$ - energia potencjalna ciała,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Zapiszemy:

$E_{m . A} = m g h$

Następnie sanki zjeżdżają w dół, rozpędzając się, czyli ich energia kinetyczna rośnie, a energia potencjalna maleje do zera w punkcie $B$ . Jednak zauważmy, że w trakcie zjeżdżania na sanki działała siła zewnętrzna — siła tarcia $T_{1}$ . Pamiętamy, że zmianę energii mechanicznej ciała (układu ciał) jest równa pracy siły zewnętrznej:

$Δ E_{m} = W$

gdzie:

$Δ E_{m}$ - zmiana energii mechanicznej,

$W$ - praca wykonana przez siłę zewnętrzną.

Wynika więc z tego, że energia mechaniczna w punkcie $B$ będzie równa różnicy energii mechanicznej w punkcie $A$ oraz zmiany energii równej pracy, jaką wykonała siłą tarcia:

$E_{m . B} = E_{m . A} - W_{T_{1}}$

Energia mechaniczna sanek w punkcie $B$ jest równa energii kinetycznej, która wynika z prędkości, jaką sanki osiągnęły podczas zjazdu ze zbocza. Następnie sanki kierują się do punktu $C$ . W trakcie ruchu po płaskim podłożu energia mechaniczna maleje aż do zera, ponieważ pracę wykonuje siła tarcia $T_{2}$ , która działa na sanki. Ostatecznie zapiszemy, że w punkcie $C$ energia mechaniczna jest równa zero:

$E_{m . C} = 0$

Natomiast praca siły tarcia $T_{2}$ jest równa energii mechanicznej ciała w punkcie $B$ :

$W_{T_{2}} = E_{m . B}$

Wówczas mamy:

$W_{T_{2}} = E_{m . A} - W_{T_{1}} ∣ \cdot W_{T_{1}}$

$W_{T_{1}} + W_{T_{2}} = E_{m . A}$

Zmiana energii mechanicznej

Zmiana energii mechanicznej sanek jest równa różnicy energii mechanicznej ciała na końcu ruchu i na początku ruchu:

$Δ E_{m} = E_{m . k} - E_{m . p}$

gdzie:

$E_{m . k}$ - energia mechaniczna ciała na końcu ruchu,

$E_{m . p}$ - energia mechaniczna ciała na początku ruchu.

W rozważanym przez nas przypadku zmiana energii mechanicznej sanek jest równa różnicy energii mechanicznej sanek w punkcie $C$ i w punkcie $A$

$Δ E_{m} = E_{m . C} - E_{m . A}$

Natomiast całkowita praca, jaką wykonują siły zewnętrzne, jest równa sumie pracy wykonanej przez siłę $T_{1}$ i pracę wykonaną przez siłę $T_{2}$ .

$W = W_{T_{1}} + W_{T_{2}}$

PRACA MECHANICZNA

Pracę wykonaną przy przemieszczeniu ciała wyrażamy jako:

$W = F r cos (∠ (F, r))$

gdzie:

$F$ - wartość siły działającej na ciało,

$r$ - wartość wektora przesunięcia,

$∠ (F, r)$ - kąt pomiędzy wektorem siły, a przemieszczenia.

Z rysunku odczytujemy:

$∠ (T_{1}, s_{1}) = 18 0^{\circ}$

$∠ (T_{2}, s_{2}) = 18 0^{\circ}$

Wówczas:

$W_{T_{1}} = T_{1} s_{1} cos 18 0^{\circ}$

$W_{T_{2}} = T_{2} s_{2} cos 18 0^{\circ}$

Wracamy do równania na zmianę energii mechanicznej:

$Δ E_{m} = W$

$E_{m . C} - E_{m . A} = W_{T_{1}} + W_{T_{2}}$

Podstawiamy wyznaczone wzory:

$0 - m g h = T_{1} s_{1} cos 18 0^{\circ} + T_{2} s_{2} cos 18 0^{\circ}$

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych lub z kalkulatora naukowego, odczytujemy:

$cos 18 0^{\circ} = - 1$

Wówczas:

$- m g h = - T_{1} s_{1} - T_{2} s_{2} ∣ \cdot (- 1)$

$m g h = T_{1} s_{1} + T_{2} s_{2}$

Podstawiamy wzory na poszczególne wartości sił tarcia:

$m g h = (f m g cos α) s_{1} + (f m g) s_{2}$

$m g h = f m g s_{1} cos α + f m g s_{2} ∣ : m g$

$h = f s_{1} cos α + f s_{2} ∣ : f$

$\frac{h}{f} = s_{1} cos α + s_{2}$

Interesuje droga, jaką przebyły sanki na płaskim podłożu $s_{2}$ , zatem przekształcamy powyższe równanie:

$s_{2} + s_{1} cos α = \frac{h}{f} ∣ - s_{1} cos α$

$s_{2} = \frac{h}{f} - s_{1} cos α$

Korzystając z rysunku pomocniczego oraz korzystając z funkcji trygonometrycznych, odczytujemy:

$\frac{h}{s _{1}} = sin α ∣ \cdot s_{1}$

$h = s_{1} sin α ∣ : sin α$

$\frac{h}{sin α} = s_{1}$

$s_{1} = \frac{h}{sin α}$

Wracamy do wzoru na drogę $s_{2}$ i podstawiamy wzór na drogę $s_{1}$ :

$s_{2} = \frac{h}{f} - \frac{h}{sin α} cos α$

$s_{2} = h (\frac{1}{f} - \frac{cos α}{sin α})$

Odczytujemy z tablic funkcji trygonometrycznych lub korzystając z kalkulatora naukowego:

$sin 1 5^{\circ} = 0, 2588$

$cos 1 5^{\circ} = 0, 9659$

Podstawiamy dane do wzoru:

$s_{2} = 2, 0 m \cdot (\frac{1}{0 , 1} - \frac{0 , 9659}{0 , 2588}) =$

$s_{2} \approx 2, 0 m \cdot (10 - 3, 7322) =$

$s_{2} = 2, 0 m \cdot 6, 2678 =$

$s_{2} = 12, 5356 m$

Nasz wynik mamy podać do trzech cyfr znaczących:

$s = 12, 5 356 m \approx 12, 5 m$

Odpowiedź: Droga, jaką przebyły sanki na podłożu do zatrzymania, wynosi około $12, 5 m$ . Dodatkowo oznaczamy odpowiednie wielkości na rysunku pomocniczym: