Wokół planetoidy Ida krąży jej niewielki...- Zadanie 2: Fizyka 1. Karty pracy ucznia. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest uzupełnienie luk w rozwiązaniu zadania.

Wypiszmy dane podane w zadaniu aby w łatwiejszy sposób móc wstawić ich wartości w odpowiednie miejsca:

$m_{I} = 4, 2 \cdot 1 0^{16} kg$

$r = 90 km = 90000 m = 9 \cdot 1 0^{4} m$

$F_{g} = 1, 7 \cdot 1 0^{9} N$

W rozwiązaniu wykorzystamy poniższą zależność:

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$

gdzie:

$F_{g}$ - wartość siły grawitacji,

$G$ - stała grawitacji,

$m_{1}$ i $m_{2}$ - masy oddziałujących ze sobą ciał,

$r$ - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Powyższy wzór w naszym zadaniu przyjmie postać:

$F_{g} = \frac{G m _{I} m _{D}}{r ^{2}}$

gdzie:

$F_{g}$ - wartość siły grawitacji,

$G$ - stała grawitacji,

$m_{I}$ - masa planetoidy Ida,

$m_{D}$ - masa Daktyla,

$r$ - odległość pomiędzy środkami Idy i Daktyla.

Przekształcamy powyższy wzór celem wyznaczenia masy Daktyla:

$F_{g} = \frac{G m _{I} m _{D}}{r ^{2}} \cdot r^{2}$

$F_{g} \cdot r^{2} = G m_{I} m_{D} ∣ : G \cdot m_{I}$

$\frac{F _{g} \cdot r ^{2}}{G \cdot m _{I}} = m_{D}$

Zamieniamy stronami:

$m_{D} = \frac{F _{g} \cdot r ^{2}}{G \cdot m _{I}}$

Następnie odstawiamy dane, które wypisaliśmy na początku zadania, tak jak to pokazano w rozwiązaniu poniżej.

Odpowiedź:

Krok 1.

Zapisujemy wzór na siłę $F_{g}$ , jaką zgodnie z prawem grawitacji, przyciągają się wzajemnie Ida i Daktyl:

$F_{g} = \underline{\frac{G m _{I} m _{D}}{r ^{2}}}$

Krok 2.

Przekształcamy powyższy wzór w taki sposób, aby umożliwiał wyznaczenie masy Daktyla $m_{D}$ . W tym celu obie strony pomnożymy najpierw przez $r^{2}$ i otrzymujemy:

$\underline{F_{g} \cdot r^{2} = G m_{I} m_{D}}$

Krok 3.

Ostateczny wzór pozwalający obliczyć masę $m_{D}$ uzyskujemy po obustronnym podzieleniu przez $G m_{I}$ :

$m_{D} = \underline{\frac{F _{g} \cdot r ^{2}}{G \cdot m _{I}}}$

Krok 4.

Po podstawieniu danych z zadania oraz stałej $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}$ otrzymujemy:

$m_{D} = \underline{\frac{1 , 7 \cdot 1 0 ^{9} N \cdot ( 9 \cdot 1 0 ^{4} m ) ^{2}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot 4 , 2 \cdot 1 0 ^{16} kg} = \frac{1 , 7 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 81 \cdot 1 0 ^{8} m ^{2}}{28 , 014 \cdot 1 0 ^{- 11 + 16} \frac{m ^{2}}{kg}} =}$

$\underline{= \frac{137 , 7 \cdot 1 0 ^{9 + 8}}{28 , 014 \cdot 1 0 ^{5} \frac{1}{kg}} = \frac{137 , 7 \cdot 1 0 ^{17}}{28 , 014 \cdot 1 0 ^{5} \frac{1}{kg}} = 4, 915399443 \cdot 1 0^{17 - 5} kg \approx}$