Dane:

$k=400$  

$x=1\text{mm}=1\cdot {10}^{-3}\text{m}$   

$\lambda =650\text{nm}=650\cdot {10}^{-9}\text{m}=6,5\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

Szukane:

$m=?$  

Rozwiązanie:

Chcemy wyznaczyć maksymalną liczbę prążków interferencyjnych powstających na ekranie za siatką dyfrakcyjną.

SIATKA DYFRAKCYJNA Wzór wiążący kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu z długością fali padającego promieniowania i stałą siatki dyfrakcyjnej ma postać: $n\lambda =d\sin {\alpha }_n$ gdzie: $n$ - numer rzędu obserwowanego prążka, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania, $d$ - stała siatki dyfrakcyjnej, ${\alpha }_n$ - kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu. Stała siatki określa odległość pomiędzy rysami: $d=\frac{x}{k}$ gdzie: $x$ - długość siatki, $k$ - liczba rys.

Wówczas sinus kąta padania ma postać:

$d\sin {\alpha }_n=n\lambda$  

$\frac{x}{k}\sin {\alpha }_n=n\lambda \mid \cdot k$  

$x\sin {\alpha }_n=n\lambda k\mid :x$  

$\sin {\alpha }_n=\frac{n\lambda k}{x}$  

Maksymalną liczbę prążków dyfrakcyjnych otrzymamy, jeżeli:

$\sin {\alpha }_{\max }\le 1$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$\frac{n_{\text{max}}\lambda k}{x}\le 1$  

Ponieważ wszystkie wielkości w powyższym wzorze są dodatnie, to możemy wykonać następujące przekształcenia:

$\frac{n_{\text{max}}\lambda k}{x}\le 1\mid \cdot x$  

$n_{\text{max}}\lambda k\le x\mid :\lambda k$  

$n_{\text{max}}\le \frac{x}{\lambda k}$  

$n_{\text{max}}\le \frac{1\cdot {10}^{-3}\text{m}}{6,5\cdot {10}^{-7}\text{m}\cdot 400}$  

$n_{\text{max}}\le \frac{1\cdot {10}^{-3}\sout{\text{m}}}{2600\cdot {10}^{-7}\sout{\text{m}}}$  

$n_{\text{max}}\le \frac{1\cdot {10}^{-3}}{0,26\cdot {10}^{-3}}$  

$n_{\text{max}}\le 3,84$  

Ponieważ  $n_{\text{max}}$  jest liczbą naturalną, to wynosi:

$n_{\text{max}}=3$   

Zatem najdalszy powstający prążek jest trzecim prążkiem. W wyniku interferencji światła na siatce dyfrakcyjnej powstający obraz jest symetryczny. Otrzymujemy zerowy prążek i po trzy prążki z każdej strony, zatem łączna liczba uzyskanych prążków wynosi:

$m=1+2n_{\text{max}}$

$m=1+2\cdot 3=7$  

Odpowiedź: Za pomocą siatki można uzyskać maksymalnie 7 prążków.