W poziome dno jeziora wbity jest...- Zadanie 12.10.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$h = 2, 5 m$

$h_{1} = 0, 5 m$

$α = 38^{\circ}$

$n = 1, 33$

Szukane:

$x = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie długości cienia rzucanego przez pal na dno jeziora. Wykonajmy szkic pomocniczy przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu:

Korzystając z rysunku można zauważyć takie zależności jak:

$1. x_{1} + x_{2} = x$

$2. h_{1} + h_{2} = h$ , czyli $h_{2} = h - h_{1}$

$3. r^{2} = x_{2}^{2} + h_{2}^{2}$ , czyli $r = x_{2}^{2} + h_{2}^{2}$

$4. t g α = \frac{x _{1}}{h _{1}}$ , czyli $x_{1} = h_{1} t g α$

$5. sin β = \frac{x _{2}}{r}$ , czyli $sin β = \frac{x _{2}}{x _{2}^{2} + h _{2}^{2}}$

PRAWO ZAŁAMANIA

Korzystając, z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$

gdzie:

$α$ - kąt padania,

$β$ - kąt załamania,

$v_{1}$ - szybkość światła w ośrodku padania,

$v_{2}$ - szybkość światła w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu,

$n_{1}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_{2}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

W naszym przypadku wiemy, że:

$n_{1} = 1$

$n_{2} = n$

Wówczas otrzymujemy zależność, z której wyznaczamy odległość $x_{2}$ :

$\frac{n}{1} = \frac{sin α}{sin β} ∣ \cdot sin β$

$n sin β = sin α$

$n \cdot \frac{x _{2}}{x _{2}^{2} + h _{2}^{2}} = sin α ∣^{2}$

$n^{2} \cdot \frac{x _{2}^{2}}{x _{2}^{2} + h _{2}^{2}} = sin^{2} α ∣ \cdot (x_{2}^{2} + h_{2}^{2})$

$n^{2} x_{2}^{2} = (x_{2}^{2} + h_{2}^{2}) sin^{2} α$

$n^{2} x_{2}^{2} = x_{2}^{2} sin^{2} α + h_{2}^{2} sin^{2} α ∣ - x_{2}^{2} sin^{2} α$

$n^{2} x_{2}^{2} - x_{2}^{2} sin^{2} α = h_{2}^{2} sin^{2} α$

$(n^{2} - sin^{2} α) x_{2}^{2} = h_{2}^{2} sin^{2} α ∣ : (n^{2} - sin^{2} α)$

$x_{2}^{2} = \frac{h _{2}^{2} sin ^{2} α}{n ^{2} - sin ^{2} α} ∣$

$x_{2} = \frac{h _{2} sin α}{n ^{2} - sin ^{2} α}$

$x_{2} = \frac{( h - h _{1} ) sin α}{n ^{2} - sin ^{2} α}$

Wówczas otrzymujemy, że długość cienia będzie wynosiła:

$x = x_{1} + x_{2}$

$x = h_{1} t g α + \frac{( h - h _{1} ) sin α}{n ^{2} - sin ^{2} α}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x = 0, 5 m \cdot t g 38^{\circ} + \frac{( 2 , 5 m - 0 , 5 m ) \cdot sin 38 ^{\circ}}{1 , 33 ^{2} - sin ^{2} 38 ^{\circ}} = 0, 5 m \cdot 0, 7813 + \frac{2 m \cdot 0 , 6157}{1 , 33 ^{2} - 0 , 6157 ^{2}} =$