Dane:

$d_1=6930\text{nm}$  

$d_2=4430\text{nm}$  

$\lambda =700\text{nm}$  

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

${\alpha }_1=?$  

${\alpha }_2=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie kąta ugięcia dla pierwszego minimum dyfrakcyjnego obrazów przedstawionych na rysunkach.

SIATKA DYFRAKCYJNA Wzór wiążący kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu z długością fali padającego promieniowania i stałą siatki dyfrakcyjnej ma postać: $n\lambda =d\sin {\alpha }_n$ gdzie: $n$ - numer rzędu obserwowanego prążka, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania, $d$ - stała siatki dyfrakcyjnej, ${\alpha }_n$ - kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu.

W naszym przypadku rozważamy pierwsze minima dyfrakcyjne. 

▶ Dla pierwszej odległości  $d_1$  otrzymujemy:

$d_1\sin {\alpha }_1=1\cdot \lambda |:d_1$  

$\sin {\alpha }_1=\frac{\lambda }{d_1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\sin {\alpha }_1=\frac{700\text{nm}}{6930\text{nm}}\approx 0,10101$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin 5^{\circ }=0,0872$  

$\sin 6^{\circ }=0,1045$  

Zatem szukany kąt będzie większy niż 5^o, ale mniejszy niż 6^o. Oszacujmy część dziesiętną szukanego kąta:

Ponieważ $\sin 6^{\circ }-\sin 5^{\circ }=0,1045-0,0872=0,0173$  to:

$0,0173\sim 1^{\circ }$  

Ponieważ $\sin {\alpha }_1-\sin 5^{\circ }=0,10101-0,0872=0,01381$  to:

$0,01381\sim \Delta {\alpha }_1$  

Z tego wynika, że:

$\Delta {\alpha }_1=\frac{0,01381}{0,0173}\cdot 1^{\circ }\approx 0,8\cdot 1^{\circ }={0,8}^{\circ }$  

Oznacza to, że miara szukanego kąta wynosi:

${\alpha }_1=5^{\circ }+{0,8}^{\circ }={5,8}^{\circ }$  

▶ Dla drugiej odległości  $d_2$  otrzymujemy:

$d_2\sin {\alpha }_2=1\cdot \lambda |:d_2$  

$\sin {\alpha }_2=\frac{\lambda }{d_2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\sin {\alpha }_2=\frac{700\text{nm}}{4430\text{nm}}\approx 0,1580$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin 9^{\circ }=0,1564$  

$\sin {10}^{\circ }=0,1736$  

Zatem szukany kąt będzie większy niż 9^o, ale mniejszy niż 10^o. Oszacujmy część dziesiętną szukanego kąta:

Ponieważ $\sin {10}^{\circ }-\sin 9^{\circ }=0,1736-0,1564=0,0172$  to:

$0,0172\sim 1^{\circ }$  

Ponieważ $\sin {\alpha }_2-\sin 9^{\circ }=0,1580-0,1564=0,0016$  to:

$0,0016\sim \Delta {\alpha }_2$  

Z tego wynika, że:

$\Delta {\alpha }_2=\frac{0,0016}{0,0172}\cdot 1^{\circ }\approx 0,093\cdot 1^{\circ }\approx {0,1}^{\circ }$  

Oznacza to, że miara szukanego kąta wynosi:

${\alpha }_2=9^{\circ }+{0,1}^{\circ }={9,1}^{\circ }$  

Odpowiedź: Kąt ugięcia dla pierwszej szczeliny wynosi około $5,8^{\circ }$, a dla drugiej około $9,1^{\circ }$.

 

$\mathbf{b})$  

Z rysunków wynika, że dla większej szczeliny mamy mniejszą szerokość centralnego obrazu dyfrakcyjnego. Stąd możemy zapisać wniosek, że szerokość centralnego obrazu dyfrakcyjnego jest tym większa im mniejsza jest szerokość szczeliny.