Dane:

$d=1,0\text{mm}={10}^{-3}\text{m}$  

$\lambda =450\text{nm}=450\cdot {10}^{-9}\text{m}=4,5\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

$l=5,0\text{m}$  

Szukane:

$D=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem wyznaczenie maksymalnej szerokości centralnego obrazu dyfrakcyjnego na ekranie. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$d$  - szerokość szczeliny, 

$l$  - odległość szczeliny od ekranu, 

$y$  - odległość pierwszego minimum od środka centralnego obrazu dyfrakcyjnego, 

$D$  - szerokość centralnego obrazu dyfrakcyjnego, 

$\alpha$  - kąt załamania światła. 

Kolejne minima dyfrakcyjne dla pojedynczej szczeliny wyznaczymy z zależności:

$n\lambda =d\sin \alpha$  

gdzie: 

$\lambda$  - długość fali,

$d$  - szerokość szczeliny,

$\alpha$  - kąt padania prążka na ekran, 

$n$  - numer prążka interferencyjnego. 

Rozważamy pierwsze minimum dyfrakcyjne, ponieważ interesuje nas szerokość prążka centralnego. Wówczas:

$d\sin \alpha =\lambda |:d$  

$\sin \alpha =\frac{\lambda }{d}$  

Z rysunku wynika, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{l}$  

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ oraz ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Wówczas odległość pierwszego minimum od środka centralnego obrazu dyfrakcyjnego wyznaczymy wykonując następujące przekształcenia:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{l}$  

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{l}|{}^2$  

$\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{y^2}{l^2}$  

$\frac{{\sin }^2\alpha }{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{y^2}{l^2}$  

$\frac{{\left(\frac{\lambda }{d}\right)}^2}{1-{\left(\frac{\lambda }{d}\right)}^2}=\frac{y^2}{l^2}$  

Wymnażamy na krzyż:

$y^2\left(1-{\left(\frac{\lambda }{d}\right)}^2\right)=l^2{\left(\frac{\lambda }{d}\right)}^2\mid :\left(1-{\left(\frac{\lambda }{d}\right)}^2\right)$  

$y^2=\frac{l^2{\left(\frac{\lambda }{d}\right)}^2}{1-{\left(\frac{\lambda }{d}\right)}^2}\mid \sqrt{}$  

$y=\frac{l\frac{\lambda }{d}}{\sqrt{1-\frac{{\lambda }^2}{d^2}}}$  

$y=\frac{\frac{l\lambda }{d}}{\sqrt{\frac{1}{d^2}\left(d^2-{\lambda }^2\right)}}$  

$y=\frac{\frac{l\lambda }{d}}{\frac{1}{d}\sqrt{d^2-{\lambda }^2}}$  

$y=\frac{l\lambda }{\sqrt{d^2-{\lambda }^2}}$  

Zatem szerokość centralnego obrazu dyfrakcyjnego wynosi:

$D=2y$  

$D=\frac{2l\lambda }{\sqrt{d^2-{\lambda }^2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$D=\frac{2\cdot 5,0\text{m}\cdot 4,5\cdot 10^{-7}\text{m}}{\sqrt{{\left(10^{-3}\text{m}\right)}^2-{\left(4,5\cdot 10^{-7}\text{m}\right)}^2}}=$  

$\approx \frac{45\cdot 10^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{10^8\cdot 10^{-14}{\text{m}}^2}}=$

$=\frac{45\cdot 10^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{10^{-6}{\text{m}}^2-20,25\cdot 10^{-14}{\text{m}}^2}}=$

$=\frac{45\cdot 10^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{10^8\cdot 10^{-14}{\text{m}}^2-20,25\cdot {10}^{-14}{\text{m}}^2}}\approx$  

$=\frac{45\cdot 10^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{10^{-6}{\text{m}}^2}}=\frac{45\cdot 10^{-7}{\text{m}}^2}{10^{-3}\text{m}}=$  

$=45\cdot 10^{-4}\text{m}=4,5\cdot 10^{-3}\text{m}=4,5\text{mm}$  

Odpowiedź: Maksymalna szerokość obrazu dyfrakcyjnego wynosi $4,5\text{mm}$.