$\mathbf{a})$  

Wiemy, że początkowa amplituda przy wytrąceniu siedziska z położenia równowagi wynosi $A_0$ .

Ponadto tłumik zmniejsza ją o $\eta =10\%=0,1$  przy każdym kolejnym drgnięciu. 

Wówczas:

$A_1=A_0-\eta A_0=\left(1-\eta \right)A_0$  

$A_2=A_1-\eta A_1=\left(1-\eta \right)A_1=\left(1-\eta \right)\left(1-\eta \right)A_0={\left(1-\eta \right)}^2{A}_0$  

$A_3=A_2-\eta A_2=\left(1-\eta \right)A_2=\left(1-\eta \right){\left(1-\eta \right)}^2{A}_0={\left(1-\eta \right)}^3{A}_0$  

$A_4=A_3-\eta A_3=\left(1-\eta \right)A_3=\left(1-\eta \right){\left(1-\eta \right)}^3{A}_0={\left(1-\eta \right)}^4{A}_0$  

Możemy zatem zauważyć, że dla $n$-tej amplitudy po wychyleniu mamy:

$A_n={\left(1-\eta \right)}^n{A}_0$  

Wyrażamy początkową, całkowitą energię mechaniczną:

RUCH DRGAJĄCY - ENERGIA CAŁKOWITA Całkowitą energię w ruchu drgającym wyznaczymy z zależności: $E=\frac{1}{2}k{A}^2$ gdzie: $E$ - całkowita energia mechaniczna ciała drgającego, $k$ - współczynnik sprężystości,  $A$ - amplituda drgań ciała.

Zatem:

$E_0=\frac{1}{2}k{A}_0^2$

gdzie:

$E_0$ - początkowa, całkowita energia mechaniczna,

$A_0$ - początkowa amplituda drgań.

Natomiast dla $n$-tego wychylenia energia ta będzie wynosiła:

$E_n=\frac{1}{2}k{A}_n^2$  

gdzie:

$E_n$ - całkowita energia mechaniczna po $n$-tym wychyleniu,

$A_n$ - amplituda drgań po $n$-tym wychyleniu.

Korzystamy z wyprowadzonej wcześniej zależności:

$E_n=\frac{1}{2}k{\left({\left(1-\eta \right)}^n{A}_0\right)}^2$  

$E_n=\frac{1}{2}k{\left(1-\eta \right)}^{2n}{A}_0^2$  

$E_n={\left(1-\eta \right)}^{2n}\cdot \frac{1}{2}k{A}_0^2$  

$E_n={\left(1-\eta \right)}^{2n}{E}_0$  

$E_n={\left(1-0,1\right)}^{2n}{E}_0$  

$E_n={\left(0,9\right)}^{2n}{E}_0$  

 

$\mathbf{b})$  

Zakładamy, że układ wykonał cztery kolejne pełne drgania.

$n=4$  

Praca wykonana po kolejnych 4 wychyleniach byłaby różnicą pracy po czwartym i początkowym wychyleniu:

$W=\left|E_4-E_0\right|$  

gdzie:

$W$ - praca tłumika podczas drgań,

$E_0$ - początkowa, całkowita energia mechaniczna układu,

$E_4$ - końcowa, całkowita energia mechaniczna układu.

Wiemy, że:

$E_n={\left(0,9\right)}^{2n}{E}_0$  

Wówczas:

$W=\left|E_4-E_0\right|$  

$W=\left|{\left(0,9\right)}^{2\cdot 4}{E}_0-E_0\right|$  

$W=\left|\left({\left(0,9\right)}^8-1\right)E_0\right|$  

$W=\left|{\left(0,9\right)}^8-1\right|E_0$  

$W\approx \left|0,43-1\right|E_0$  

$W\approx \left|-0,57\right|E_0$  

$W\approx 0,57E_0$  

 

$\mathbf{c})$  

Siedzisko nie rusza się (tłumi wychylenie do zera), czyli nie posiada amplitudy. Wówczas jego energia drgań jest zerowa. 

Wówczas siłownik wykonuje pracę równą całkowitej energii drgań:

$W=E_4$  

$W={\left(0,9\right)}^{2\cdot 4}{E}_0$  

$W={\left(0,9\right)}^8{E}_0$  

$W\approx 0,43E_0$