Dane:

$m_d=20\text{kg}$

$r=1,8\text{m}$

${\omega }_1=1,4\frac{\text{rad}}{\text{s}}$

$m_k=95\text{kg}$

$R=2\text{m}$

 

$4.1a.$

Szukane:

$F_T=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest odpowiedź na pytanie, jaką wartość powinna mieć siła tarcia, aby dziecko utrzymało się na platformie. Na dziecko oprócz siły tarcia statycznego działa odśrodkowa siła wynikająca z obrotu platformy. Skoro dziecko utrzymuje się na platformie to siła tarcia musi być co najmniej równoważona przez siłę bezwładności:

$F_T=F_{\text{od}}$

gdzie:

$F_T$ - wartość siły tarcia, 

$F_{\text{od}}$ - wartość siły odśrodkowej (siła bezwładności).

WARTOŚĆ SIŁY ODŚRODKOWEJ Wartość siły odśrodkowej możemy przedstawić wzorem: $F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$ gdzie: $F_{od}$ - wartość siły odśrodkowej działającej na ciało,  $m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu,  $v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Dla naszego przypadku mamy:

$F_{\text{od}}=\frac{m_d{v}_1^2}{r}$

gdzie:

$m_d$ - masa dziecka, 

$v_1$ - początkowa szybkość liniowa dziecka.

Nie znamy szybkości liniowej platformy ani dziecka, ale znamy jej szybkość kątową oraz wiemy, że każdy punkt platformy porusza się z taką samą szybkością kątową. 

SZYBKOŚĆ LINIOWA A KĄTOWA Zależność szybkości liniowej od szybkości kątowej przedstawiamy wzorem: $v=\omega r$ gdzie: $v$ - szybkość liniowa,  $\omega$ - szybkość kątowa,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

W naszym przypadku promień okręgu, po którym porusza się ciało odpowiada odległości dziecka od osi obrotu. Znamy również początkową szybkość kątową platformy ${\omega }_1$. Dlatego:

$v_1={\omega }_{1}r$

gdzie:

${\omega }_1$ - początkowa wartość prędkości kątowej platformy.

Otrzymujemy wówczas:

$F_T=F_{\text{od}}$

$F_T=\frac{m_d{v}_1^2}{r}$

$F_T=\frac{m_d{\left({\omega }_{1}r\right)}^2}{r^{}}$

$F_T=\frac{m_d{\omega }_1^2{r}^{\cancel{2}}}{\cancel{r}}$

$F_T=m_d{\omega }^{2}r$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_T=20\text{kg}\cdot {\left(1,4\frac{1}{\text{s}}\right)}^2\cdot 1,8\text{m}=$

$=20\text{kg}\cdot 1,96\frac{1}{{\text{s}}^2}\cdot 1,8\text{m}=$

$=70,56\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=70,56\text{N}$

Odpowiedź: Aby dziecko utrzymało się na platformie, siła tarcia powinna mieć wartość równą:

$B.70,56\text{N}$.

 

$4.1b.$

Dane w podpunkcie:

${\omega }_2=1,6\frac{\text{rad}}{\text{s}}$

Szukane:

• początkowy moment bezwładności platformy: $I_{p1}=?$
• początkowy moment bezwładności dziecka:$I_{d1}=?$
• moment pędu platformy i dziecka:$L=?$
• drogę przebytą przez dziecko względem platformy: $s=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie czterech wielkości związanych z ruchem dziecka na platformie. 

Początkowy moment bezładności platformy.

W treści zadania podane mamy, że za początkowy moment bezładności platformy możemy obliczyć ze wzoru:

$I_{p1}=\frac{1}{2}{m}_k{R}^2$

gdzie:

$m_k$ - masa platformy, 

$R$ - długość promienia platformy.

Podstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$I_{p1}=\frac{1}{2}\cdot 95\text{kg}\cdot {\left(2\text{m}\right)}^2=47,5\text{kg}\cdot 4{\text{m}}^2=190\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$

Początkowy moment bezwładności dziecka.

Zgodnie z treścią zadania dziecko na platformie należy potraktować jako punkt materialny. 

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać: $I=m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności punktu materialnego, $m$ - masa ciała, $r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Zatem początkowo dla dziecka mamy:

$I_{d1}=m_d{r}^2$

gdzie:

$I_{d1}$ - początkowy moment bezwładności dziecka, 

$m_d$ - masa dziecka. 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_{d1}=20\text{kg}\cdot {\left(1,8\text{m}\right)}^2=20\text{kg}\cdot 3,24{\text{m}}^2=64,8\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$

Moment pędu i platformy dziecka. 

Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wartość momentu pędu nie zmienia się. Zatem całkowity moment pędu układu jest sumą momentu pędu platformy i momentu pędu dziecka:

$L_1=L_{p1}+L_{d1}$

gdzie:

$L_1$ - początkowy moment pędu platformy wraz z dzieckiem, 

$L_{p1}$ - początkowy moment pędu platformy, 

$L_{d1}$ - początkowy moment pędu dziecka. 

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru: $L=I\omega$ gdzie: $L$ - wartość momentu pędu, $I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,  $\omega$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

Początkowa wartość momentu pędu platformy ma postać:

$L_{p1}=I_{p1}{\omega }_1$

Natomiast początkowy moment pędu dziecka ma wartość:

$L_{d1}=I_{d1}{\omega }_1$

Otrzymujemy wówczas:

$L_1=L_{p1}+L_{d1}$

$L_1=I_{p1}{\omega }_1+I_{d1}{\omega }_1$

$L_1=\frac{1}{2}{m}_k{R}^2{\omega }_1+m_d{r}^2{\omega }_1$

$L_1=\left(\frac{1}{2}{m}_k{R}^2+m_d{r}^2\right){\omega }_1$

Obliczamy wartość momentu pędu układu:

$L_1=\left(\frac{1}{2}\cdot 95\text{kg}\cdot {\left(2\text{m}\right)}^2+20\text{kg}\cdot {\left(1,8\text{m}\right)}^2\right)\cdot 1,4\frac{1}{\text{s}}=$

$=\left(47,5\text{kg}\cdot 4{\text{m}}^2+20\text{kg}\cdot 3,24{\text{m}}^2\right)\cdot 1,4\frac{1}{\text{s}}=$

$=\left(190\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+64,8\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 1,4\frac{1}{\text{s}}=$

$=254,8\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot 1,4\frac{1}{\text{s}}=356,72\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}$

Droga przebyta przez dziecko względem platformy.

Naszym zadaniem jest obliczenie drogi, jak przebędzie dziecko względem platformy, czyli różnicy pomiędzy położeniami dziecka. Dziecko zbliżało się do platformy, dlatego:

$s=r-x$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez dziecko, 

$r$ - początkowa odległość dziecka od osi obrotu platformy, 

$x$ - odległość dziecka od osi obrotu po zbliżeniu się do osi obrotu.

Moment bezwładności platformy nie zmienia się, ale zmienia się jej szybkość kątowa. Wówczas wartość momentu pędu platformy ma postać:

$L_{p2}=I_{p1}{\omega }_2$

gdzie:

$L_{p2}$ - wartość momentu pędu platformy po zmianie położenia dziecka, 

${\omega }_2$ - szybkość kątowa platformy po tym jak dziecko zmieniło swoje położenie. 

Gdy dziecko przejdzie bliżej osi obrotu to jego moment bezwładności ma postać:

$I_{d2}=m_d{x}^2$

Zatem wówczas wartość momentu pędu dziecka to:

$L_{d2}=I_{d2}{\omega }_2^2$

gdzie:

$L_{d2}$ - wartość momentu pędu dziecka po zmianie jego położenia.

Z zasady zachowania momentu pędu otrzymamy równanie, z którego wyznaczamy nową odległość dziecka od osi obrotu:

$L_{p2}+L_{d2}=L_{p1}+L_{d1}$

$I_{p1}{\omega }_2+I_{d2}{\omega }_2=I_{p1}{\omega }_1+I_{d1}{\omega }_1$

$\frac{1}{2}{m}_k{R}^2{\omega }_2+m_d{x}^2{\omega }_2=\frac{1}{2}{m}_k{R}^2{\omega }_1+m_d{r}^2{\omega }_1|-\frac{1}{2}{m}_k{R}^2{\omega }_2$

$m_d{x}^2{\omega }_2=\frac{1}{2}{m}_k{R}^2{\omega }_1+m_d{r}^2{\omega }_1-\frac{1}{2}{m}_k{R}^2{\omega }_2$

$m_d{x}^2{\omega }_2=\frac{1}{2}\left(m_k{R}^2+2m_d{r}^2\right){\omega }_1-\frac{1}{2}{m}_x{R}^2{\omega }_2|:m_d{\omega }_2$

$x^2=\frac{\left(m_k{R}^2+2m_d{r}^2\right){\omega }_1}{2m_d{\omega }_2}-\frac{m_x{R}^2{\omega }_2}{2m_d{\omega }_2}$

$x^2=\frac{m_k{R}^2+2m_d{r}^2}{2m_d}\cdot \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}-\frac{m_x{R}^2}{2m_d}|\sqrt{}$

$x=\sqrt{\frac{m_k{R}^2+2m_d{r}^2}{2m_d}\cdot \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}-\frac{m_x{R}^2}{2m_d}}$

Stąd wynika, że:

$s=r-\sqrt{\frac{m_k{R}^2+2m_d{r}^2}{2m_d}\cdot \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}-\frac{m_x{R}^2}{2m_d}}$

Obliczamy:

$s=1,8\text{m}-\sqrt{\frac{95\text{kg}\cdot {\left(2\text{m}\right)}^2+2\cdot 20\text{kg}\cdot {\left(1,8\text{m}\right)}^2}{2\cdot 20\text{kg}}\cdot \frac{1,4\cancel{\frac{1}{\text{s}}}}{1,8\cancel{\frac{1}{\text{s}}}}-\frac{95\cancel{\text{kg}}\cdot {\left(2\text{m}\right)}^2}{2\cdot 20\cancel{\text{kg}}}}=$

$=1,8\text{m}-\sqrt{\frac{95\text{kg}\cdot 4{\text{m}}^2+40\text{kg}\cdot 3,24{\text{m}}^2}{40\text{kg}}\cdot 0,875-\frac{95\cdot \stackrel{1}{\cancel{4}}{\text{m}}^2}{\underset{10}{\cancel{40}}}}=$

$=1,8\text{m}-\sqrt{\frac{380\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+129,6\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{40\text{kg}}\cdot 0,875-9,5{\text{m}}^2}=$

$=1,8\text{m}-\sqrt{\frac{509,6\cancel{\text{kg}}\cdot {\text{m}}^2}{40\cancel{\text{kg}}}\cdot 0,875-9,5{\text{m}}^2}=$

$=1,8\text{m}-\sqrt{12,74{\text{m}}^2\cdot 0,875-9,5{\text{m}}^2}=1,8\text{m}-\sqrt{11,1475{\text{m}}^2-9,5{\text{m}}^2}=$

$=1,8\text{m}-\sqrt{1,6475{\text{m}}^2}\approx 1,8\text{m}-1,28\text{m}=0,52\text{m}$

Odpowiedź: Początkowy moment bezwładności platformy wynosi $190\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$. Początkowy moment bezwładności dziecka wynosi $64,8\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$. Wartość momentu pędu platformy i dziecka wynosi $356,72\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}$. Droga przebyta przez dziecko względem platformy wynosi około $0,52\text{m}$.