Walec i ciężarek. Jednorodny walec o promieniu... Na rysunku obok przedstawiono...- Zadanie 3.3.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$3.3a.$

Naszym zadaniem jest dorysowanie i podpisanie siły działającej na ciężarek z zachowaniem proporcji długości wektorów. Z treści zadania wiemy, że na rysunku pominięto siły działające na walec w kierunku pionowym, ponieważ te siły równoważą się.

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona siła naprężenia nici działająca na ciężarek będzie miała taką samą wartość, ale przeciwny zwrot do siły naprężenia nici w miejscu styku nici z nieruchomym bloczkiem. Podobnie siła naciągu nici działająca pomiędzy nieruchomym bloczkiem jest równoważona przez siłę naprężenia nici działającą na walec. Tym samy siła naprężenia nici działająca na ciężarek będzie miała taką samą wartość, jak siłę naprężenia nici działającą na walec. Układ porusza się z przyspieszeniem i ciężarek opada. Zatem siła ciężkości ciężarka ma większą wartość niż siła naprężenia nici działającą na ciężarek.

Zaznaczmy to w układzie:

gdzie:

$F_{T}$ - siła tarcia statycznego działająca na walec,

$F_{N}$ - siła naprężenia nici działającą na walec i na ciężarek,

$F_{c}$ - siła ciężkości ciężarka.

$3.3b.$

Naszym zadaniem jest wykazanie, że wartość przyspieszenia liniowego, z jakim ciężarek opada obliczymy ze wzoru:

$a_{c} = 2 a_{O} = \frac{8 m _{c}}{3 m _{w} + 8 m _{c}} g$

gdzie:

$a_{c}$ - wartość przyspieszenia liniowego ciężarka,

$a_{O}$ - wartość przyspieszenia liniowego środka ciężkości walca oznaczonego przez O na rysunku Rys. 1 załączonego do głównej treści zadania,

$m_{c}$ - masa ciężarka,

$m_{w}$ - masa walca,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Zacznijmy od rozważenia ruchu postępowego ciężarka. Korzystając z rysunku wykonanego w poprzednim podpunkcie możemy zauważyć, że siła wypadkowa działająca na niego będzie różnicą pomiędzy siłą ciężkości ciężarka, a siła naciągu nici:

$F_{w . c} = F_{c} - F_{N}$

gdzie:

$F_{w . c}$ - wartość siły wypadkowej działającej na ciężarek.

II ZASADA DYNAMIKI

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F_{w} = m a$

gdzie:

$F_{w}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

Wówczas dla ciężarka otrzymamy:

$m_{c} a_{c} = F_{w . c}$

$m_{c} a_{c} = F_{c} - F_{N}$

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Zatem:

$m_{c} a_{c} = m_{c} g - F_{N}$

Nie znamy wartości siły naciągu nici, ale możemy przeanalizować ruch walca, aby ją znaleźć. Zacznijmy od zwrócenia uwagi, jakie siły działające na walec powodują jego obrót:

Wybierzmy punkt, względem którego będziemy rozważali obrót walca, a dokładniej momenty sił.

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY

Wartość momentu siły wyrażamy jako:

$M = r F sin α$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły,

$r$ - długość ramienia siły,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$α$ - kąt pomiędzy ramieniem siły a wektorem siły.

Nie znamy wartości siły tarcia statycznego, dlatego jeżeli rozważymy obrót walca względem punktu P, który jest również punktem przyłożenia siły tarcia to długość ramienia siły tarcia jest zerowa. Zatem zgodnie z definicją momentu sił wartość momentu siły pochodzącego od siły tarcia statycznego będzie zerowa.

Niech punkt P będzie osią obrotu walca:

Długość ramienia siły jest równa promieniowi walca:

$r_{N} = 2 R$

gdzie:

$r_{N}$ - wartość długości ramienia siły naciągu,

$R$ - długość promienia walca.

Wówczas moment siły naciągu powodujący obrót walca względem punktu P, gdy ramię siły jest prostopadłe do siły ma postać:

$M = r_{N} F_{N} sin 9 0^{\circ}$

$M = 2 R F_{N} \cdot 1$

$M = 2 R F_{N}$

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I ε = M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Z treści zadania wiemy, że moment bezwładności walca względem osi przechodzącej przez jego środek wynosi:

$I = \frac{1}{2} m_{w} R^{2}$

gdzie:

$m_{w}$ - masa walca.

My jednak rozważamy oś w punkcie P.

TWIERDZENIE STEINERA

Jeśli znany jest moment bezwładności $I_{0}$ względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to korzystając z twierdzenia Steinera, otrzymujemy, że moment bezwładności bryły sztywnej względem innej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy możemy przedstawić wzorem:

$I = I_{0} + m d^{2}$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności bryły sztywnej względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy,

$I_{0}$ - znany moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy tej bryły,

$m$ - masa tej bryły,

$d$ - odległość pomiędzy osią przechodzącą przez środek masy a równoległą do niej.

Zatem moment bezwładności walca w tym punkcie zgodnie z twierdzeniem Steinera ma postać:

$I_{P} = I + m_{w} R^{2}$

$I_{P} = \frac{1}{2} m_{w} R^{2} + m_{w} R^{2}$

$I_{P} = \frac{3}{2} m_{w} R^{2}$

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO A LINIOWEGO

Przyspieszenie kątowe w zależności od przyspieszenia liniowego przedstawiamy wzorem:

$ε = \frac{a}{r}$

gdzie:

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego,

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Zatem dla przyspieszenia kątowego walca względem punktu P mamy:

$ε = \frac{a _{A}}{2 R}$

gdzie:

$a_{A}$ - wartość przyspieszenia liniowego punktu A na walcu (tam gdzie znajduj się lina).

Wartość przyspieszenia liniowego punktu A na walcu jest taka sama, jak wartość przyspieszenia liniowego ciężarka:

$a_{A} = a_{c}$

Wówczas zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymamy, że wartość siły naciągu nici ma postać:

$M = I_{P} ε$

$2 R F_{N} = \frac{3}{2} m_{w} R^{2} \cdot \frac{a _{A}}{2 R}$

$2 R F_{N} = \frac{3 m _{w} R a _{A}}{4} ∣ : 2 R$

$F_{N} = \frac{3 m _{w} R a _{A}}{4 \cdot 2 R}$

$F_{N} = \frac{3 m _{w} a _{c}}{8}$

Wracając do równania wynikającego z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego ciężarka otrzymamy:

$m_{c} a_{c} = m_{c} g - F_{N}$

$m_{c} a_{c} = m_{c} g - \frac{3 m _{w} a _{c}}{8} ∣ \cdot 8$

$8 m_{c} a_{c} = 8 m_{c} g - 3 m_{w} a_{c} ∣ + 3 m_{w} a_{c}$

$3 m_{w} a_{c} + 8 m_{c} a_{c} = 8 m_{c} g$

$(3 m_{w} + 8 m_{c}) a_{c} = 8 m_{c} g ∣ : (3 m_{w} + 8 m_{c})$

$a_{c} = \frac{8 m _{c}}{3 m _{w} + 8 m _{c}} g$

Co należało wykazać!

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

1.3. Dynamika

Premium

13:41

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.4. Energia mechaniczna

Premium

12:36

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.8. Drgania

Premium

16:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.