Dane:

$T_0=15^{\circ }\text{C}=288\mathrm{K}$

$T_r=130^{\circ }\text{C}=403\mathrm{K}$

$S=1,67{\mathrm{m}}^2$

$V=2,1l=2,1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$

$\eta =76,4\%\to \eta =0,764$

$d=1,035\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}$

$c=3,6\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K}}=3600\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K}}$

$I=1000\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}$

Szukane:

$t=\text{?}$

Rozwiązanie:

Moc promieniowania i jego natężenie

Promieniowanie słoneczne oświetla z pewną mocą powierzchnię kolektora słonecznego i dostarcza do niego energię. Moc takiego promieniowania wyrazimy jako.

$P=\frac{E}{t}$

gdzie:

$P$ - moc promieniowania słonecznego,

$E$ - energia docierająca do kolektora,

$t$ - czas oświetlania kolektora.

Stąd szukany czas, w którym kolektor będzie ogrzewany, wyniesie:

$P=\frac{E}{t}|\cdot t$

$Pt=E|:P$

$t=\frac{E}{P}$

Do kolektora dociera pewna energia promieniowania słonecznego, ale nie cała ta energia jest zamieniana na ciepło w tym kolektorze. Wyraża nam to podana sprawność optyczna, stąd:

$Q=\eta E$

gdzie:

$Q$ - ciepło jakie zostanie przekazane w kolektorze do płynu solarnego,

$\eta$ - sprawność kolektora.

Zatem:

$Q=\eta E|:\eta$

$\frac{Q}{\eta }=E$

$E=\frac{Q}{\eta }$

Wzór pozwalający wyznaczyć szukany czas, przyjmie postać:

$t=\frac{E}{P}$

$t=\frac{\frac{Q}{\eta }}{P}$

$t=\frac{Q}{\eta P}$

Teraz skupimy się na mocy promieniowania, żeby powiązać je z natężeniem promieniowania. Natężenie promieniowania możemy wyrazić jako:

$I=\frac{P}{S}$

gdzie:

$I$ - natężenie promieniowania,

$S$ - powierzchnia, na jaką pada to promieniowanie.

Znamy natężenie promieniowania słonecznego docierającego do kolektora oraz powierzchnię absorbera kolektora. Zatem:

$I=\frac{P}{S}|\cdot S$

$IS=P$

$P=IS$

Otrzymujemy:

$t=\frac{Q}{\eta P}$

$t=\frac{Q}{\eta IS}$

Ciepło przekazane do kolektora

Pozostało nam do wyrażenia ciepło jakie przepływa do płynu solarnego w kolektorze.

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem: $Q=mc\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,  $m$ - masa ciała,  $c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,  $\Delta T$ - zmiana temperatury ciała.

W naszym przypadku zmianę temperatury płynu solarnego wyrazimy jako:

$\Delta T=T_r-T_0$

gdzie:

$\Delta T$ - zmiana temperatury płynu solarnego,

$T_r$ - temperatura końcowa płynu solarnego,

$T_0$ - temperatura początkowa płynu solarnego.

Stąd:

$Q=mc\left(T_r-T_0\right)$

Masę płynu solarnego możemy wyrazić znając jego gęstość.

GĘSTOŚĆ Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że: $d=\frac{m}{V}$ gdzie: $d$ - gęstość ciała,  $m$ - masa ciała,  $V$ - objętość ciała.

Wyznaczamy masę naszego płynu solarnego:

$d=\frac{m}{V}|\cdot V$

$dV=m$

$m=dV$

Otrzymujemy:

$Q=dVc\left(T_r-T_0\right)$

Czas ogrzewania kolektora

Ostatecznie wyznaczamy wzór pozwalający obliczyć czas ogrzewania kolektora przy zadanych parametrach.

$t=\frac{Q}{\eta IS}$

Podstawiamy zależność na ciepło dostarczone do kolektora.

$t=\frac{dVc\left(T_r-T_0\right)}{\eta IS}$

Podstawiamy dane liczbowe do wyprowadzonego wzoru.

$t=\frac{1,035\frac{\cancel{\mathrm{kg}}}{\cancel{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}}\cdot 2,1\cancel{\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}\cdot 3600\frac{\mathrm{J}}{\cancel{\mathrm{kg}}\cdot \mathrm{K}}\cdot \left(403\mathrm{K}-288\mathrm{K}\right)}{0,764\cdot 1000\frac{\mathrm{W}}{\cancel{{\mathrm{m}}^2}}\cdot 1,67\cancel{{\mathrm{m}}^2}}=\frac{7824,6\frac{\mathrm{J}}{\cancel{\mathrm{K}}}\cdot 115\cancel{\mathrm{K}}}{1275,88\mathrm{W}}=\frac{899829\cancel{\mathrm{J}}}{1275,88\frac{\cancel{\mathrm{J}}}{\mathrm{s}}}\approx 705\mathrm{s}$

$t\approx 12\min$

Odpowiedź: Glikol w kolektorze musi być ogrzewany przez niecałe $12\min$.