Dane:

$l=4\text{m}$  

$m_1=25\text{kg}$  

$m_2=15\text{kg}$  

Szukane:

$d=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, w jakiej odległości od drugiego końca belki należałoby podeprzeć belkę, aby dziecko mogło bawić się na huśtawce samodzielnie. Musimy zatem wyznaczyć środek masy układu opisanego w zadaniu. 

ŚRODEK MASY CIAŁA Środek masy to punkt, w którym można przyjąć, że skupiona jest cała masa ciała lub układu ciał. Położenie tego punktu zależy od rozkładu masy, ale nie zależy od działania siły grawitacji. W układzie odniesienia związanym ze środkiem masy, łączny moment mas względem tego punktu jest równy zeru. Oznacza to, że dla ciała podzielonego na małe części lub dla układu ciał suma iloczynów mas poszczególnych części i wektorów ich położeń względem środka masy jest równa zeru: $\sum _{i-1}^n{m}_i{\vec{r}}_i=0$ gdzie: $m_i$ - masa i-tego ciała lub i-tej części ciała, ${\vec{r}}_i$ - wektor położenia i-tej cząstki lub środka masy i-tego ciała względem środka masy układu.

Zaznaczmy na rysunku środki ciężkości belki, dziecka i całego układu oraz wektory położenia środków ciężkości ciał układu względem środka masy całego układu:

gdzie:

$l$ - długość belki, 

$x$ - odległość podparcia belki od jej wolnego końca (szukana),

$m_1$ - masa belki, 

$m_2$ - masa dziecka (uznajemy dziecko za punkt materialny), 

${\vec{r}}_1$ - wektor położenia środka masy belki względem środka masy całego układu,

${\vec{r}}_2$ - wektor położenia środka masy dziecka względem środka masy całego układu.

Korzystając z definicji środka masy otrzymamy równanie:

$m_1{\vec{r}}_1+m_2{\vec{r}}_2=0$

Z zapisu wektorowego przechodzimy na zapis skalarny uwzględniając zwroty wektorów:

$-m_1{r}_1+m_2{r}_2=0$

Z rysunku pomocniczego możemy zauważyć, że odległość środka masy belki od środka masy układu ma postać:

$r_1+\frac{1}{2}l=x|-\frac{1}{2}l$

$r_1=x-\frac{1}{2}l$

Z rysunku wynika również, że odległość środka masy dziecka od środka masy układu ma postać:

$r_1+r_2=\frac{1}{2}l$

$x-\frac{1}{2}l+r_2=\frac{1}{2}l|+\frac{1}{2}l$

$x+r_2=l|-x$

$r_2=l-x$

Wówczas odległość środka masy układu od wolnego końca belki będzie miała postać:

$-m_1{r}_1+m_2{r}_2=0$

$-m_1\left(x-\frac{1}{2}l\right)+m_2\left(l-x\right)=0$

$-m_{1}x+m_1\cdot \frac{1}{2}l+m_{2}l-m_{2}x=0$

$-m_{1}x-m_{2}x+\frac{1}{2}{m}_{1}l+m_{2}l=0|-\frac{1}{2}{m}_{1}l-m_{2}l$

$-m_{1}x-m_{2}x=-\frac{1}{2}{m}_{1}l-m_{2}l$

$-\left(m_1+m_2\right)x=-\left(\frac{1}{2}{m}_1+m_2\right)l|-\left(m_1+m_2\right)$

$x=\frac{-\left(\frac{1}{2}{m}_1+m_2\right)l}{-\left(m_1+m_2\right)}$

$x=\frac{\frac{1}{2}{m}_1+m_2}{m_1+m_2}\cdot l$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{\frac{1}{2}\cdot 25\text{kg}+15\text{kg}}{25\text{kg}+15\text{kg}}\cdot 4\text{m}=$

$=\frac{12,5\text{kg}+15\text{kg}}{40\text{kg}}\cdot 4\text{m}=$

$=\frac{27,5\cancel{\text{kg}}}{40\cancel{\text{kg}}}\cdot 4\text{m}=$

$=0,6875\cdot 4\text{m}=2,75\text{m}$

Odpowiedź: Deskę należy podeprzeć w odległości $2,75\text{m}$ od jej wolnego końca.