Oblicz pracę wykonaną...- Zadanie 1: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest obliczenie pracy, ciepła i zmianę energii wewnętrznej azotu dla procesu przedstawionego na wykresie.

Analizując, załączony w treści zadania, wykres możemy wywnioskować, że przedstawiona przemiana jest izobaryczna. Oznacza to, że zmienia się wartość objętości (wzrasta), natomiast ciśnienie jest stałe. Zaznaczmy na wykresie, jak zmienia się objętość:

gdzie:

$V_{1}$ - początkowa objętość azotu,

$V_{2}$ - końcowa objętość azotu.

W przypadku przemiany izobarycznej pracę gazu na tłok obliczamy jako pole pod wykresem pokazującym przemianę:

gdzie:

$Δ V$ - zmiana objętości gazu w tłoku.

Widzimy więc, że wzór na pracę możemy zapisać jako:

$W = p Δ V$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez azot,

$p$ - ciśnienie gazu,

$Δ V$ - zmiana objętości gazu.

Zmianę objętości gazu definiujemy jako różnicę końcowej i początkowej objętości gazu:

$Δ V = V_{2} - V_{1}$

Zaznaczmy na wykresie współrzędną ciśnienia azotu w tłoku i otrzymujemy:

gdzie:

$p_{N}$ - ciśnienie azotu w tłoku.

W takim przypadku nasz wzór na pracę ma postać:

$W = p_{N} \cdot Δ V$

$W = p_{N} \cdot (V_{2} - V_{1})$

Odczytane współrzędne wynoszą:

$p_{N} = 2 MPa = 2 \cdot 1 0^{6} Pa$

$V_{1} = 1 m^{3}$

$V_{2} = 3 m^{3}$

Wstawiamy dane liczbowe do wzoru i otrzymujemy:

$W = 2 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot (3 m^{3} - 1 m^{3}) =$

$= 2 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot 2 m^{3} = 4 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot m^{3} =$

$= 4 \cdot 1 0^{6} \frac{J}{m ^{3}} \cdot m^{3} = 4 \cdot 1 0^{6} J = 4 MJ$

W kolejnym kroku musimy obliczyć ciepło, które gaz pochłania z otoczenia. Gaz pochłania ciepło, ponieważ w naszej przemianie izobarycznej wzrasta objętość przy stałym ciśnieniu. Zgodnie z równaniem Clapeyrona musi więc zwiększyć się temperatura. Aby tak się stało, to gaz musi pobrać ciepło z otoczenia.

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem:

$Q = n C_{p} Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

Azot jest gazem dwuatomowym. Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu dla gazu dwuatomowego wynosi:

$C_{p} = \frac{7}{2} R$

gdzie:

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu dla gazu dwuatomowego,

$R$ - stała gazowa.

Więc wzór na ciepło, pobrane przez azot z otoczenia, wynosi:

$Q = n C_{p} Δ T$

$Q = n \cdot \frac{7}{2} R Δ T$

$Q = \frac{7}{2} n R Δ T$

Zmiana temperatury będzie tu równa różnicy temperatury końcowej i początkowej:

$Δ T = T_{2} - T_{1}$

gdzie:

$T_{2}$ - końcowa temperatura azotu,

$T_{1}$ - początkowa temperatura azotu.

Zatem wzór na ciepło pobrane przez azot ma postać:

$Q = \frac{7}{2} n R Δ T$

$Q = \frac{7}{2} n R (T_{2} - T_{1})$

Mnożymy wyrazy w nawiasie przez $n R$ i otrzymujemy:

$Q = \frac{7}{2} n R (T_{2} - T_{1})$

$Q = \frac{7}{2} (n R T_{2} - n R T_{1})$

Dlaczego to zrobiliśmy? Bo to jest prawa strona równania Clapeyrona w początkowym i końcowym stanie azotu.

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Zapiszmy równania Clapeyrona dla stanu początkowego i końcowego gazu:

$p_{N} V_{1} = n R T_{1}$

$p_{N} V_{2} = n R T_{2}$

Zauważmy, że powstał nam układ równań:

${p_{N} V_{2} = n R T_{2} p_{N} V_{1} = n R T_{1}$

Odejmijmy obustronnie i otrzymujemy:

$\frac{- { p _{N} V _{2} p _{N} V _{1} = n R T _{2} = n R T _{1}}{p _{N} V _{2} - p _{N} V _{1} = n R T _{2} - n R T _{1}}$

Widzimy zatem, że nasz wzór na ciepło możemy zapisać równoważnie:

$Q = \frac{7}{2} (n R T_{2} - n R T_{1})$

$Q = \frac{7}{2} (p_{N} V_{2} - p_{N} V_{1})$

$Q = \frac{7}{2} p_{N} (V_{2} - V_{1})$

Wstawiamy do naszego wzoru dane liczbowe i otrzymujemy:

$Q = \frac{7}{2} \cdot 2 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot (3 m^{3} - 1 m^{3}) =$

$= \frac{7}{2} \cdot 2 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot 2 m^{3} = 7 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot 2 m^{3} =$

$= 14 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot m^{3} = 14 \cdot 1 0^{6} \frac{J}{m ^{3}} \cdot m^{3} =$

$= 14 \cdot 1 0^{6} J = 14 MJ$

Pierwsza zasada termodynamiki mówi nam, że zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem:

$Δ U = W + Q$

gdzie:

$Δ U$ - zmiana energii wewnętrznej układu,

$W$ - praca wykonana nad układem przez siły zewnętrzne,

$Q$ - ciepło dostarczone do ciała (pobrane z otoczenia przez układ).

W naszym przypadku gaz wykonuje pracę, aby zwiększyć swoją objętość, przy stałym ciśnieniu. Dlatego przed pracą musi być znak minus:

$Δ U = - W + Q$

$Δ U = Q - W$

Wstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy:

$Δ U = 14 MJ - 4 MJ$

$Δ U = 10 MJ$

Odpowiedź: