Dane: 

$h=10\text{km}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ promień Ziemi: $R=6370\text{km}$,

▶ kąt nachylenia Ziemi względem Słońca: $\psi =23,5^{\circ }$,

▶ szerokość geograficzna dla Warszawy: $\phi =52^{\circ }$.

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$x_a=?$

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie drogi, jaką w atmosferze przebywa światło w słoneczne południe najdłuższego dnia w roku.  W południe słoneczne najdłuższego dnia w roku Słońce znajduje się w zwrotniku Raka. Położenie Ziemi względem Słońca w ciągu roku możemy przedstawić na następującym schemacie:

Rozważania przeprowadźmy dla przesilenia letniego oraz na początku dla dowolnej szerokości geograficznej $\phi$. Wiemy, że nachylenie osi Ziemi względem Słońca wynosi $\psi$. Wykonajmy schematyczny rysunek, na którym symbolicznie oznaczymy promienie słoneczne padające na Ziemię tego dnia w samo południe. Oznaczmy na tym rysunku również kąty i potrzebne nam odległości:

gdzie:

$R$ - promień Ziemi, 

$h$ - grubość atmosfery, 

$x_a$ - droga przebyta przez promienie Słoneczne w atmosferze (szukana),

$\psi$ - kąt nachylenia Ziemi względem Słońca, 

$\phi$ - szerokość geograficzna, 

$\alpha$ - kąt pomiędzy daną szerokością geograficzną, a padającymi promieniami świetlnymi,

$\beta$ - kąt pomiędzy daną szerokością geograficzną a osią nachylenia Ziemi względem Słońca. 

Jeżeli założymy, że długości $h$ i $x_a$ tworzą trójkąt prostokątny to zgodnie z zależnościami trygonometrycznymi spełniona jest zależność:

$\cos \alpha =\frac{h}{x_a}$

Wówczas naszą szukaną możemy przedstawić wzorem:

$\cos \alpha =\frac{h}{x_a}|\cdot x_a$

$x_a\cos \alpha =h|:\cos \alpha$

$x_a=\frac{h}{\cos \alpha }$

Z wykonanego rysunku możemy zauważyć:

$\psi +\beta +\alpha =90^{\circ }$

$\beta +\phi =90^{\circ }$

Oznacza to, że kąt $\beta$ możemy przedstawić zależnością:

$\beta =90^{\circ }-\phi$

Oznacza to, że kąt $\alpha$ będzie miał miarę:

$\psi +\beta +\alpha =90^{\circ }$ 

$\psi +90^{\circ }-\phi +\alpha =90^{\circ }|+\phi -\psi -90^{\circ }$

$\alpha =\phi -\psi$

Wówczas drogę promieni Słonecznych w atmosferze ziemskiej przedstawimy wzorem:

$x_a=\frac{h}{\cos \alpha }$

$x_a=\frac{h}{\cos \left(\phi -\psi \right)}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x_a=\frac{10\text{km}}{\cos \left(52^{\circ }-23,5^2\right)}=\frac{10\text{km}}{\cos 28,5}\approx$

$=\frac{10\text{km}}{0,8788}\approx 11\text{km}$

Odpowiedź: Promienie słoneczne pokonują w tym przypadku w atmosferze ziemskiej drogę równą około 11 km.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$x_b=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie drogi pokonywanej przez promienie słoneczne w naszej atmosferze, gdy Słońce zachodzi. Ziemia obraca się wokół własnej osi. Spójrzmy na nią z góry względem osi obrotu. Jeżeli znajdujemy się na równoleżniku to otrzymamy, że:

Wówczas korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy, że:

$x_b^2+R^2={\left(R+h\right)}^2\mid -R^2$  

$x_b^2={\left(R+h\right)}^2-R^2\mid \sqrt{}$  

$x_b=\sqrt{{\left(R+h\right)}^2-R^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x_b=\sqrt{{\left(6370\text{km}+10\text{km}\right)}^2-{\left(6370\text{km}\right)}^2}=\sqrt{{\left(6380\text{km}\right)}^2-{\left(6370\text{km}\right)}^2}=$  

$=\sqrt{40704400{\text{km}}^2-40576900{\text{km}}^2}=\sqrt{127500{\text{km}}^2}\approx 357\text{km}$  

Jeżeli chcemy jednak wziąć pod uwagę naszą szerokość geograficzną to wówczas rozważmy promień równoleżnikowy, czyli:

$\cos \phi =\frac{r}{R}$, czyli $r=R\cos \phi$  

Oznacza to, że wówczas:

$x_b^{\prime 2}+r^2={\left(r+h\right)}^2\mid -r^2$  

$x_b^{\prime 2}={\left(r+h\right)}^2-r^2\mid \sqrt{}$  

$x_b^{\prime }=\sqrt{{\left(r+h\right)}^2-r^2}$  

$x_b^{\prime }=\sqrt{{\left(R\cos \phi +h\right)}^2-{\left(R\cos \phi \right)}^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x_b=\sqrt{{\left(6370\text{km}\cdot \cos {52}^{\circ }+10\text{km}\right)}^2-{\left(6370\text{km}\cdot \cos 52^{\circ }\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(6370\text{km}\cdot 0,6157+10\text{km}\right)}^2-{\left(6370\text{km}\cdot 0,6157\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(3922,009\text{km}+10\text{km}\right)}^2-{\left(3922,009\text{km}\right)}^2}=\sqrt{{\left(3932,009\text{km}\right)}^2-{\left(3922,009\text{km}\right)}^2}=$  

$=\sqrt{15460694,78{\text{km}}^2-15382154,6{\text{km}}^2}=\sqrt{78540,18{\text{km}}^2}\approx 280\text{km}$

Odpowiedź: W atmosferze promienie słoneczne pokonują wówczas drogę około $357\text{km}$, jeżeli znajdujemy się na równoleżniku. Jeżeli uwzględniamy szerokość geograficzną to dla Warszawy mamy około $280\text{km}$.