Dane:

$v_{\text{s}}=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$s=0,5\text{m}$ 

$M=40\text{kg}$

$m=8\text{kg}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$f_{\text{k}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie wartości współczynnika tarcia kinetycznego łyżew o lód. W treści zadania mamy przyjąć, że zmiana energii kinetycznej łyżwiarza, jest równa pracy, jaką wykonuje siła tarcia działająca na łyżwiarza:

$\Delta E_{\text{k}}=W$

gdzie:

$\Delta E_{\text{k}}$ - zmiana energii kinetycznej,

$W$ - praca siły tarcia działającej na łyżwiarza.

Praca wykonana przez siłę tarcia

Pracę wykonaną przez poruszające się ciało przedstawiamy zależnością:

$W=\vec{F}\circ \vec{r}$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez ciało, 

$\vec{F}$ - siła działająca na ciało powodująca jego przesunięcie, 

$\vec{r}$ - wektor przesunięcia ciała, na które działa siła.

Mamy tutaj do czynienia z iloczynem skalarnym wektorów, czyli bierzemy pod uwagę kosinus kąta pomiędzy wektorem siły i wektorem przesunięcia:

$W=Fr\cos \left(\angle \left(\vec{F},\vec{r}\right)\right)$

gdzie:

$F$ - wartość siły działające na ciało, 

$r$ - wartość wektora przesunięcia, 

$\angle \left(\vec{F},\vec{r}\right)$ - kąt pomiędzy wektorem siły, a przemieszczenia.

W rozważanym przez nas przypadku siła tarcia jest zwrócona przeciwnie do wektora przemieszczenia, czyli kąt pomiędzy wektorem siły, a przemieszczenia jest równy:

$\angle \left(\vec{F},\vec{r}\right)=180^{\circ }$

Skoro:

$\cos \left(180^{\circ }\right)=-1$

Wówczas:

$W=-Fr$

Jednak w naszym przypadku wartość wektora przesunięcia jest równa drodze $s$, jaką przebył łyżwiarz. Co więcej, wiemy, że to siła tarcia ${\vec{F}}_{\text{T}}$ działa na łyżwiarza, zatem:

$W=-F_{\text{T}}s$

Wartość siły tarcia opisuje wzór:

$F_{\text{T}}=f{F}_{\text{N}}$

gdzie:

$F_{\text{T}}$ - wartość  siły tarcia,

$f$ - wartość współczynnika tarcia,

$F_{\text{N}}$ - wartość siły nacisku.

Przyjmujemy, że łyżwiarz porusza się po płaskiej powierzchni, zatem wartość siły nacisku, z jaka narciarz działa na podłoże, jest równa wartości siły ciężkości łyżwiarza:

$F_{\text{N}}=F_{\text{c}}$

Wartość siły ciężkości opisuje wzór:

$F_{\text{c}}=mg$

gdzie:

$F_{\text{c}}$  - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Nas interesuje wartość siły tarcia kinetycznego, zatem zapiszemy:

$F_{\text{T}}=f_{\text{k}}{F}_{\text{N}}$

$F_{\text{T}}=f_{\text{k}}{F}_{\text{c}}$

$F_{\text{T}}=f_{\text{k}}Mg$

Wówczas:

$W=-F_{\text{T}}s$

$W=-f_{\text{k}}Mgs$

Wracamy do równości zmiany energii kinetycznej łyżwiarza i pracy wykonanej przez siłę tarcia na łyżwiarzu:

$\Delta E_{\text{k}}=W$

Zmiana energii kinetycznej

Zmiana energii kinetycznej łyżwiarza jest równa różnicy energii kinetycznej ciała na końcu ruchu i jego energii kinetycznej na początku ruchu:

$\Delta E_{\text{k}}=E_{\text{k.k}}-E_{\text{k.p}}$

gdzie:

$\Delta E_{\text{k}}$ - zmiana energii kinetycznej,

$E_{\text{k.k}}$ - energia kinetyczna ciała na końcu ruchu,

$E_{\text{k.p}}$ - energia kinetyczna ciała na początku ruchu.

Łyżwiarz po odepchnięciu sanek poruszał się z pewną prędkością $v_{\text{ł}}$. W trakcie jego ruchu działała na niego siła tarcia ${\vec{F}}_{\text{T}}$, która spowalniała jego ruch, aż do całkowitego zatrzymania. Podczas całego ruchu (aż do zatrzymania) łyżwiarz przebył drogę $s$. Zatem na początku ruchu, gdy łyżwiarz poruszał się z pewną prędkością, energia kinetyczna łyżwiarza była większa od zera i wynosiła $E_{\text{k.p}}$. Natomiast po przebyciu drogi $s$ łyżwiarz zatrzymał się, czyli jego energia kinetyczna była równa zero. Wynika więc z tego, że:

$\Delta E_{\text{k}}=0-E_{\text{k.p}}$

$\Delta E_{\text{k}}=-E_{\text{k.p}}$

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Wówczas:

$E_{\text{k.p}}=\frac{M{v}_{\text{ł}}^2}{2}$

$\Delta E_{\text{k}}=-E_{\text{k.p}}$

$\Delta E_{\text{k}}=-\frac{M{v}_{\text{ł}}^2}{2}$

Wartość współczynnika tarcia

Korzystamy z założenia, że zmiana energii kinetycznej łyżwiarza jest równa pracy, którą wykonała siła tarcia:

$\Delta E_{\text{k}}=W$

Podstawiamy wcześniej wyznaczone wzory:

$-\frac{M{v}_{\text{ł}}^2}{2}=-f_{\text{k}}Mgs|\cdot (-1)$

$\frac{M{v}_{\text{ł}}^2}{2}=f_{\text{k}}Mgs|:M$

$\frac{v_{\text{ł}}^2}{2}=f_{\text{k}}gs|:gs$

$\frac{v_{\text{ł}}^2}{2gs}=f_{\text{k}}$

$f_{\text{k}}=\frac{v_{\text{ł}}^2}{2gs}$

W punkcie $2.2$ wyznaczyliśmy zależność między wartością prędkości łyżwiarza i wartością prędkości sanek:

$v_{\text{ł}}=\frac{m}{M}{v}_{\text{s}}$

gdzie:

$v_{\text{ł}}$ - wartość prędkości łyżwiarza,

$m$ - masa sanek,

$M$ - masa łyżwiarza,

$v_{\text{s}}$ - wartość prędkości sanek.

Podstawiamy powyższą zależność do wzoru na wartość współczynnika tarcia:

$f_{\text{k}}=\frac{{\left(\frac{m}{M}{v}_{\text{s}}\right)}^2}{2gs}$

$f_{\text{k}}=\frac{\frac{m^2}{M^2}{v}_{\text{s}}^2}{2gs}$

$f_{\text{k}}={\left(\frac{m}{M}\right)}^2\frac{v_{\text{s}}^2}{2gs}$

Podstawiamy dane i obliczamy:

$f_{\text{k}}={\left(\frac{8\cancel{\text{kg}}}{40\cancel{\text{kg}}}\right)}^2\cdot \frac{{\left(2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,5\text{m}}=$

$={\left(0,2\right)}^2\cdot \frac{4\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{20\cdot 0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m}}=$

$=0,04\cdot \frac{4}{10}\frac{\cancel{\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}{\cancel{\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}=0,04\cdot 0,4=0,016$

Odpowiedź: Współczynnik tarcia łyżwiarza o lód wynosi $0,016$.