1. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ łyżwiarz i sanki mają inne masy oraz poruszają się różnymi rodzajami ruchu.

W treści zadania powiedziane mamy, że łyżwiarz po pokonaniu pewnej odległości $s$ się zatrzymał. Skoro po odepchnięciu sanek poruszał się z pewną prędkością, a po pewnym czasie zatrzymał się, to oznacza, że poruszał się ruchem zmiennym, a dokładnie ruchem opóźnionym, czyli jego wartość prędkości malała.

Interesuje nas różnica energii kinetycznej łyżwiarza i energii kinetycznej sanek. Energię kinetyczną, w ogólnym przypadku, opisuje wzór:

$E_{\text{k}}=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_{\text{k}}$ - energia kinetyczna ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Zapiszemy więc:

▶ Energia kinetyczna łyżwiarza

$E_{\text{k.łyz˙wiarza}}=\frac{m_1{v}_1^2}{2}$

▶ Energia kinetyczna sanek

$E_{\text{k.sanek}}=\frac{m_2{v}_2^2}{2}$

Wówczas:

$E_{\text{k.łyz˙wiarza}}-E_{\text{k.sanek}}=\frac{m_1{v}_1^2}{2}-\frac{m_2{v}_2^2}{2}$

Przed odepchnięciem sanek pęd całego układu był równy zero:

$\vec{p}=0$

Natomiast w chwili po odepchnięciu zarówno łyżwiarz, jak i sanki ruszyli się, zatem całkowity pęd całego układu jest równy sumie pędów łyżwiarza i sanek:

${\vec{p}}^{\prime }={\vec{p}}_{\text{ł}}+{\vec{p}}_{\text{s}}$

Jednak po odepchnięciu sanki i łyżwiarz poruszali się w przeciwne strony, zatem zapiszemy:

$p^{\prime }=p_{\text{ł}}-p_{\text{s}}$

Wówczas, korzystają z zasady zachowania pędu, otrzymamy:

$\vec{p}={\vec{p}}^{\prime }$

$0=p_{\text{ł}}-p_{\text{s}}|+p_{\text{s}}$

$p_{\text{s}}=p_{\text{ł}}$

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Zatem:

▶ Wartość pędu łyżwiarza

$p_{\text{ł}}=m_1{v}_1$

▶ Wartość pędu sanek

$p_{\text{s}}=m_2{v}_2$

Wracamy do równości wartości pędów:

$p_{\text{s}}=p_{\text{ł}}$

$m_2{v}_2=m_1{v}_1|:m_2$

$v_2=\frac{m_1}{m_2}{v}_1$

Podstawiamy powyższą zależność do wzoru na różnicę energii kinetycznych:

$E_{\text{k.łyz˙wiarza}}-E_{\text{k.sanek}}=\frac{m_1{v}_1^2}{2}-\frac{m_2{\left(\frac{m_1}{m_2}{v}_1\right)}^2}{2}$

$E_{\text{k.łyz˙wiarza}}-E_{\text{k.sanek}}=\frac{m_1{v}_1^2}{2}-\frac{\cancel{m_2}\frac{m_1^2}{m_2^{{\cancel{2}}^1}}{v}_1^2}{2}$

 

$E_{\text{k.łyz˙wiarza}}-E_{\text{k.sanek}}=\frac{m_1{v}_1^2}{2}-\frac{m_1^2{v}_1^2}{2m_2}$

$E_{\text{k.łyz˙wiarza}}-E_{\text{k.sanek}}=\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)\frac{m_1{v}_1^2}{2}$

Widzimy więc, że już na początku ruchu (po odepchnięciu sanek) różnica energii kinetycznych nie jest równa zero, ponieważ masa łyżwiarza nie jest równa masie sanek.

 

2. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ w rozważanym przypadku działa zasada zachowania pędu.

 

3. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ zgodnie z treścią zadania na układ łyżwiarz-sanki nie działa żadna siła zewnętrzna, a skoro środek masy na początku był w spoczynku, to zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, środek masy musi pozostać w spoczynku w tym samym miejscu.